微积分学示例

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 等于 $f' (g (z)) g' (z)$ ，其中 $f (z) = \sin (z)$ 且 $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{z - 7}{z + 7}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

解题步骤 1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{z - 7}{z + 7}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 等于 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ ，其中 $f (z) = z - 7$ 且 $g (z) = z + 7$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $z - 7$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.3

因为 $- 7$ 对于 $z$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

将 $z + 7$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.5

根据加法法则， $z + 7$ 对 $z$ 的导数是 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 等于 $n z^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.7

因为 $7$ 对于 $z$ 是常数，所以 $7$ 对 $z$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.8

合并分数。

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解题步骤 3.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 3.8.3

组合 $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ 和 $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ 。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

合并 $z + 7 - z - - 7$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $z$ 中减去 $z$ 。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $0$ 和 $7$ 相加。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

将 $7$ 和 $7$ 相加。

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

解题步骤 4.2.4

将 $14$ 移到 $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ 的左侧。

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$

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