微积分学示例

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \tan (5 x + 1)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (5 x + 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (5 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

解题步骤 2

将 $\tan (5 x + 1)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

解题步骤 3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ 。

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

解题步骤 4

将 $\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ 转换成 $\cot (5 x + 1)$ 。

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 5 x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 x + 1$ 。

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

解题步骤 5.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

解题步骤 5.3

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 6.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

解题步骤 6.6

化简表达式。

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解题步骤 6.6.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

解题步骤 6.6.2

将 $5$ 移到 $\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ 的左侧。

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

解题步骤 6.6.3

重新排序 $5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ 的因式。

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$

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