微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{5} - e^{2 x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{5} - e^{2 x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{5} - e^{2 x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{5} - e^{2 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x^{5} - e^{2 x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{5} - e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}])$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 3.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x} \cdot 1)$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}} (5 x^{4} - 2 e^{2 x})$ 的因式。

$(5 x^{4} - 2 e^{2 x}) \frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$

解题步骤 5.2

将 $5 x^{4} - 2 e^{2 x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{5} - e^{2 x}}$ 。

$\frac{5 x^{4} - 2 e^{2 x}}{x^{5} - e^{2 x}}$

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