微积分学示例

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 5

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.1.2

将 $\cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.1.3

约去公因数。

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.3

乘以 $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

组合 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.4

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.5

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.6

一的任意次幂都为一。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.7

组合 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

解题步骤 6.4.8

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

解题步骤 6.4.9

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

解题步骤 6.4.10

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.10.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 6.4.10.2

约去公因数。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

解题步骤 6.4.10.3

重写表达式。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

解题步骤 6.4.11

一的任意次幂都为一。

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 6.5

在公分母上合并分子。

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.6

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $1$ 重新排序。

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.7

使用勾股恒等式。

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.8

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.2

约去公因数。

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解题步骤 6.8.2.1

乘以 $1$ 。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.2.2

约去公因数。

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.2.3

重写表达式。

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.8.2.4

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 6.9

化简每一项。

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解题步骤 6.9.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 6.9.2

分离分数。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6.9.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

解题步骤 6.9.4

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$

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