微积分学示例

$f (x) = \cos (\tan (x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \tan (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\tan (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ 的因式。

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

解题步骤 3.2

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (\tan (x))$

解题步骤 3.3

对 $\frac{1}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

解题步骤 3.4

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

解题步骤 3.5

组合 $\sin (\tan (x))$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

解题步骤 3.6

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

解题步骤 3.7

分离分数。

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

解题步骤 3.8

将 $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

解题步骤 3.9

将 $\sin (\tan (x))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

解题步骤 3.10

化简。

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解题步骤 3.10.1

用 $\sin (\tan (x))$ 除以 $1$ 。

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 3.11

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- (\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

解题步骤 3.12

乘以 $\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ 。

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解题步骤 3.12.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sec^{1} (x) \sec (x) \sin (\tan (x)))$

解题步骤 3.12.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sin (\tan (x)))$

解题步骤 3.12.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- ({\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

解题步骤 3.12.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

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