微积分学示例

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = \frac{x + a}{b}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + a}{b}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x + a}{b}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{b}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x + a}{b}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ 。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{b}$ 乘以 $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ 。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $x + a$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ 。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

解题步骤 2.5

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

解题步骤 2.6.2

将 $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $\frac{x + a}{b}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

组合 $b$ 和 $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ 。

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

解题步骤 3.3.3

约去 $b$ 和 $b^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $b {(x + a)}^{2}$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

解题步骤 3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从 $b^{2}$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

解题步骤 3.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.4

要将 $b$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{b}{b}$ 。

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.6

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.7

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

解题步骤 3.3.10

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ 。

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

解题步骤 3.3.11

将 $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

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