微积分学示例

$f (x) = \ln (1 + e^{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 + e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{1}{1 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{1 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 相加。

$\frac{1}{1 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{1 + e^{x}} e^{x}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{1 + e^{x}}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

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