微积分学示例

$f (x) = \ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $3 x^{2} - 2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + 0)$

解题步骤 2.9

将 $6 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$ 的因式。

$(6 x - 2) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 3.2

将 $6 x - 2$ 乘以 $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$ 。

$\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 3.3

从 $6 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x) - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 3.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x) + 2 (- 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

解题步骤 3.3.3

从 $2 (3 x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

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