微积分学示例

$g (t) = \frac{0.00331}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $0.00331$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{0.00331}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}$ 对 $t$ 的导数是 $0.00331 \frac{d}{d t} [\frac{1}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}]$ 。

$0.00331 \frac{d}{d t} [\frac{1}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}}$ 重写为 ${(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 1}$ 。

$0.00331 \frac{d}{d t} [{(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = 0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ 。

$0.00331 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0.00331 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 2.3

使用 $0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$0.00331 (- {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $0.00331$ 。

$- 0.00331 ({(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [0.00331] + \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}]$ 。

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [0.00331] + \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 3.3

因为 $0.00331$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.00331$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}]$ 相加。

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [0.99669 e^{- 3.8 t}]$

解题步骤 3.5

因为 $0.99669$ 对于 $t$ 是常数，所以 $0.99669 e^{- 3.8 t}$ 对 $t$ 的导数是 $0.99669 \frac{d}{d t} [e^{- 3.8 t}]$ 。

$- 0.00331 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (0.99669 \frac{d}{d t} [e^{- 3.8 t}])$

解题步骤 3.6

将 $0.99669$ 乘以 $- 0.00331$ 。

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 3.8 t}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 3.8 t$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 3.8 t$ 。

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 3.8 t])$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 3.8 t])$

解题步骤 4.3

使用 $- 3.8 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} \frac{d}{d t} [- 3.8 t])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 3.8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3.8 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 3.8 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 0.00329904 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} (- 3.8 \frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.2

将 $- 3.8$ 乘以 $- 0.00329904$ 。

$0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} (e^{- 3.8 t} \cdot 1)$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $e^{- 3.8 t}$ 乘以 $1$ 。

$0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} e^{- 3.8 t}$

解题步骤 5.4.2

重新排序 $0.01253636 {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2} e^{- 3.8 t}$ 的因式。

$0.01253636 e^{- 3.8 t} {(0.00331 + 0.99669 e^{- 3.8 t})}^{- 2}$

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