微积分学示例

$g (x) = \cos^{2} (\ln (\frac{1}{x})) + \frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\cos^{2} (\ln (\frac{1}{x})) + \frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (\ln (\frac{1}{x}))] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (\ln (\frac{1}{x}))] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (\ln (\frac{1}{x}))]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (\ln (\frac{1}{x}))$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (\ln (\frac{1}{x}))$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (\frac{1}{x}))] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (\frac{1}{x}))] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\cos (\ln (\frac{1}{x}))$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (\frac{1}{x}))] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\ln (\frac{1}{x})$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.2.3

使用 $\ln (\frac{1}{x})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.3.2

$\ln (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{3}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.3.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (\frac{1}{\frac{1}{x}} (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.6

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (1 x (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (x (- x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (- (x^{1} x^{- 2}))) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (- x^{1 - 2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.10

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (- \sin (\ln (\frac{1}{x})) (- x^{- 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) (1 \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 2.12

将 $\sin (\ln (\frac{1}{x}))$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{(\cos (\sqrt{x})) \cdot 2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2$ 移到 $\cos (\sqrt{x})$ 的左侧。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{2 \cdot \cos (\sqrt{x})}}]$

解题步骤 3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}}]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}}$ 重写为 ${(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 1}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{d}{d x} [{(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 1}]$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u_{4}$ 设为 $2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ 等于 $n {u_{4}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {u_{4}}^{- 2} \frac{d}{d x} [2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}]$

解题步骤 3.4.3

使用 $2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 替换所有出现的 $u_{4}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} \frac{d}{d x} [2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}]$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = 2^{x}$ 且 $g (x) = 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{5}$ 设为 $2 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{5}} [2^{u_{5}}] \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 3.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{5}} [a^{u_{5}}]$ 等于 $a^{u_{5}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{u_{5}} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 3.5.3

使用 $2 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 替换所有出现的 $u_{5}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 \cos (x^{\frac{1}{2}})])$

解题步骤 3.6

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]))$

解题步骤 3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{6}$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (\frac{d}{d u_{6}} [\cos (u_{6})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])))$

解题步骤 3.7.2

$\cos (u_{6})$ 对 $u_{6}$ 的导数为 $- \sin (u_{6})$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (u_{6}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])))$

解题步骤 3.7.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{6}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])))$

解题步骤 3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - {(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))))$

解题步骤 3.9

将 ${(2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))))$

解题步骤 3.9.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))))$

解题步骤 3.10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))))$

解题步骤 3.11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

解题步骤 3.12

在公分母上合并分子。

解题步骤 3.13

化简分子。

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解题步骤 3.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))))$

解题步骤 3.13.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))))$

解题步骤 3.14

将负号移到分数的前面。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))))$

解题步骤 3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})))$

解题步骤 3.16

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2})))$

解题步骤 3.17

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (2 (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}})))$

解题步骤 3.18

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (- 2 \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3.19

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \frac{- 2 \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.20

从 $- 2 \sin (x^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \frac{2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.21

约去公因数。

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解题步骤 3.21.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \frac{2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

解题步骤 3.21.2

约去公因数。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \frac{2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.21.3

重写表达式。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \frac{- \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.22

将负号移到分数的前面。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) (- \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3.23

组合 $2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 和 $\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (\ln (2) (- \frac{2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3.24

组合 $\ln (2)$ 和 $\frac{2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} - 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (- \frac{\ln (2) (2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.25

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + 1 \cdot 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \frac{\ln (2) \cdot 2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.26

将 $2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 乘以 $1$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \frac{\ln (2) \cdot 2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.27

组合 $2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 和 $\frac{\ln (2) \cdot 2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (\ln (2) \cdot 2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.28

通过指数相加将 $2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 乘以 $2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 。

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解题步骤 3.28.1

移动 $2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})}$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \cdot 2^{- 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (\ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.28.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{2^{2 \cos (x^{\frac{1}{2}}) - 4 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (\ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.28.3

从 $2 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 中减去 $4 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ 。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{2^{- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} (\ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}}))}{x^{\frac{1}{2}}}$

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) x^{- 1} + \frac{2^{- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) \frac{1}{x} + \frac{2^{- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{x} \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x})) + \frac{2^{- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $\cos (\ln (\frac{1}{x}))$ 。

$\frac{2 \cos (\ln (\frac{1}{x}))}{x} \sin (\ln (\frac{1}{x})) + \frac{2^{- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2.3

组合 $\frac{2 \cos (\ln (\frac{1}{x}))}{x}$ 和 $\sin (\ln (\frac{1}{x}))$ 。

$\frac{2 \cos (\ln (\frac{1}{x})) \sin (\ln (\frac{1}{x}))}{x} + \frac{2^{- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})} \ln (2) \sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例