微积分学示例

$g (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \ln (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 3

组合 ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}]$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ 且 $g (x) = 33 x + 31$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $33 x + 31$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 4.3

使用 $33 x + 31$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 8.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4}{3} {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{4}{3}$ 和 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \ln (x) (\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \frac{d}{d x} [33 x + 31]$

解题步骤 10

根据加法法则， $33 x + 31$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31]$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (\frac{d}{d x} [33 x] + \frac{d}{d x} [31])$

解题步骤 11

因为 $33$ 对于 $x$ 是常数，所以 $33 x$ 对 $x$ 的导数是 $33 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [31])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [31])$

解题步骤 13

将 $33$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + \frac{d}{d x} [31])$

解题步骤 14

因为 $31$ 对于 $x$ 是常数，所以 $31$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} (33 + 0)$

解题步骤 15

化简项。

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解题步骤 15.1

将 $33$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3} \cdot 33$

解题步骤 15.2

组合 $\frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$ 和 $33$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{4 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) \cdot 33}{3}$

解题步骤 15.3

将 $33$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{3}$

解题步骤 15.4

从 $132 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3}$

解题步骤 16

约去公因数。

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解题步骤 16.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 (1)}$

解题步骤 16.2

约去公因数。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{3 (44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 16.3

重写表达式。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{1}$

解题步骤 16.4

用 $44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$

解题步骤 17

要将 $44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}}{x} + \frac{44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 18

在公分母上合并分子。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x}{x}$

解题步骤 19

化简分子。

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解题步骤 19.1

从 ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x) x$ 中分解出因数 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 19.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 19.1.1.1

移动 $\ln (x)$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} x \ln (x)}{x}$

解题步骤 19.1.1.2

移动 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

解题步骤 19.1.2

从 ${(33 x + 31)}^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)}{x}$

解题步骤 19.1.3

从 $44 x {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} \ln (x)$ 中分解出因数 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))}{x}$

解题步骤 19.1.4

从 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} {(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + {(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (44 x \ln (x))$ 中分解出因数 ${(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{\frac{3}{3}} + 44 x \ln (x))}{x}$

解题步骤 19.2

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} ({(33 x + 31)}^{1} + 44 x \ln (x))}{x}$

解题步骤 19.3

化简。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + 44 x \ln (x))}{x}$

解题步骤 19.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $44 \ln (x)$ 。

$\frac{{(33 x + 31)}^{\frac{1}{3}} (33 x + 31 + x \ln (x^{44}))}{x}$

微积分学 示例

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