微积分学示例

$g (x) = {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = 2 x + 5$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

将 $6$ 移到 $2 x + 5$ 的左侧。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 \cdot (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.11

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.12

合并分数。

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解题步骤 3.12.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.12.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 3.12.3

组合 $\frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$ 和 $3$ 。

$\frac{(6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)) \cdot 3}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

解题步骤 3.12.4

将 $3$ 移到 $6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ 运用乘积法则。

$\frac{3 (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{3 ((6 (2 x) + 6 \cdot 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.5

运用分配律。

$\frac{3 (6 (2 x) x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6

合并项。

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解题步骤 4.6.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{3 (12 x \cdot x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (12 (x^{1} x)) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (12 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (12 x^{1 + 1}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (12 x^{2}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$\frac{36 x^{2} + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.7

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$\frac{36 x^{2} + 3 (30 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.8

将 $30$ 乘以 $3$ 。

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.9

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.10

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.12

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.13

从 $36 x^{2}$ 中减去 $18 x^{2}$ 。

$\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.14

将 $\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}}$ 乘以 $\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$ 。

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2} {(2 x + 5)}^{2}}$

解题步骤 4.6.15

通过指数相加将 ${(2 x + 5)}^{2}$ 乘以 ${(2 x + 5)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.15.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2 + 2}}$

解题步骤 4.6.15.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.7

重新排序项。

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (18 x^{2} + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.8

从 $18 x^{2} + 90 x + 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 4.8.1

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.8.2

从 $90 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.8.3

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.8.4

从 $6 (3 x^{2}) + 6 (15 x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.8.5

从 $6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x + 1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} \cdot 6 (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

解题步骤 4.9

将 $6$ 移到 ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{6 {(3 x^{2} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

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