微积分学示例

$G (x) = 9 x^{5} (x^{4} - 9)$

解题步骤 1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{5} (x^{4} - 9)$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{5} (x^{4} - 9)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = x^{4} - 9$ 。

$9 (x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4} - 9] + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{4} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$9 (x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$9 (x^{5} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$9 (x^{5} (4 x^{3} + 0) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 3.4

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$9 (x^{5} (4 x^{3}) + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $x^{3}$ 。

$9 (x^{3} x^{5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 (x^{3 + 5} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 4.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$9 (x^{8} \cdot 4 + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 5

将 $4$ 移到 $x^{8}$ 的左侧。

$9 (4 \cdot x^{8} + (x^{4} - 9) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$9 (4 x^{8} + (x^{4} - 9) (5 x^{4}))$

解题步骤 7

将 $5$ 移到 $x^{4} - 9$ 的左侧。

$9 (4 x^{8} + 5 \cdot (x^{4} - 9) x^{4})$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$9 (4 x^{8} + (5 x^{4} + 5 \cdot - 9) x^{4})$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$9 (4 x^{8} + 5 x^{4} x^{4} + 5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$9 (4 x^{8}) + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.4

合并项。

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解题步骤 8.4.1

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4} x^{4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.4.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 8.4.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$36 x^{8} + 9 (5 (x^{4} x^{4})) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 x^{8} + 9 (5 x^{4 + 4}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.4.2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$36 x^{8} + 9 (5 x^{8}) + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.4.3

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (5 \cdot - 9 x^{4})$

解题步骤 8.4.4

将 $5$ 乘以 $- 9$ 。

$36 x^{8} + 45 x^{8} + 9 (- 45 x^{4})$

解题步骤 8.4.5

将 $- 45$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{8} + 45 x^{8} - 405 x^{4}$

解题步骤 8.4.6

将 $36 x^{8}$ 和 $45 x^{8}$ 相加。

$81 x^{8} - 405 x^{4}$

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