微积分学示例

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ 。

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = 3 t + 4$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t + 4$ 。

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 2.3

使用 $3 t + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 t + 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ 。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

解题步骤 3.8

将 $2$ 移到 ${(3 t + 4)}^{3}$ 的左侧。

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

从 $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ 中分解出因数 $t {(3 t + 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ 中分解出因数 $t {(3 t + 4)}^{2}$ 。

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

解题步骤 4.1.2

从 $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ 中分解出因数 $t {(3 t + 4)}^{2}$ 。

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.1.3

从 $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ 中分解出因数 $t {(3 t + 4)}^{2}$ 。

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.2

将 $9$ 移到 $t$ 的左侧。

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.3

将 ${(3 t + 4)}^{2}$ 重写为 $(3 t + 4) (3 t + 4)$ 。

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.4

使用 FOIL 方法展开 $(3 t + 4) (3 t + 4)$ 。

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解题步骤 4.4.1

运用分配律。

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.4.2

运用分配律。

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.4.3

运用分配律。

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

移动 $t$ 。

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.1.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.5.2

将 $12 t$ 和 $12 t$ 相加。

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.6

运用分配律。

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.7

化简。

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解题步骤 4.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.7.2

使用乘法的交换性质重写。

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.7.3

将 $16$ 移到 $t$ 的左侧。

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.8

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 4.8.1.1

移动 $t^{2}$ 。

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.8.1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.8.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.8.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.8.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.8.2.1

移动 $t$ 。

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.8.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

解题步骤 4.9

化简每一项。

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解题步骤 4.9.1

运用分配律。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

解题步骤 4.9.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

解题步骤 4.9.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

解题步骤 4.10

将 $9 t$ 和 $6 t$ 相加。

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

解题步骤 4.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ 。

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12

化简每一项。

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解题步骤 4.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.2

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.12.2.1

移动 $t$ 。

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 4.12.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.3

将 $9$ 乘以 $15$ 。

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.4

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.6

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.12.6.1

移动 $t$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.6.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 4.12.6.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.7

将 $24$ 乘以 $15$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.8

将 $8$ 乘以 $24$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.9

使用乘法的交换性质重写。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.10

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.12.10.1

移动 $t$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.10.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.11

将 $16$ 乘以 $15$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

解题步骤 4.12.12

将 $8$ 乘以 $16$ 。

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

解题步骤 4.13

将 $72 t^{3}$ 和 $360 t^{3}$ 相加。

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

解题步骤 4.14

将 $192 t^{2}$ 和 $240 t^{2}$ 相加。

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$

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