微积分学示例

$G (y) = \frac{{(y - 2)}^{5}}{{(y^{2} + 4 y)}^{9}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = {(y - 2)}^{5}$ 且 $g (y) = {(y^{2} + 4 y)}^{9}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{({(y^{2} + 4 y)}^{9})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${({(y^{2} + 4 y)}^{9})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{9 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{5}$ 且 $g (y) = y - 2$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $y - 2$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 3.3

使用 $y - 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} (5 {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $5$ 移到 ${(y^{2} + 4 y)}^{9}$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $y - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 4.4

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} (1 + 0) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} \cdot 1 - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 4.5.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{9}$ 且 $g (y) = y^{2} + 4 y$ 。

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解题步骤 5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y^{2} + 4 y$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{9}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (9 {u_{2}}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 5.3

使用 $y^{2} + 4 y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (9 {(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 6.2

根据加法法则， $y^{2} + 4 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 6.4

因为 $4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $4 y$ 对 $y$ 的导数是 $4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4 \cdot 1))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 6.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

从 $5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))$ 中分解出因数 ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从 $5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4}$ 中分解出因数 ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.1.2

从 $- 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))$ 中分解出因数 ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.1.3

从 ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 9 (y - 2) (2 y + 4))$ 中分解出因数 ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ 。

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.2

从 $y^{2} + 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{{(y \cdot y + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.2.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.2.3

从 $y \cdot y + y \cdot 4$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{{(y (y + 4))}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.3

对 $y (y + 4)$ 运用乘积法则。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.4

运用分配律。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 5 (4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.5

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.6

运用分配律。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 9 y - 9 \cdot - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.7

将 $- 9$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 9 y + 18) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(- 9 y + 18) (2 y + 4)$ 。

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解题步骤 7.1.8.1

运用分配律。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 y (2 y + 4) + 18 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.8.2

运用分配律。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 y (2 y) - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.8.3

运用分配律。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 y (2 y) - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.9.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 \cdot 2 y \cdot y - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.1.9.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 \cdot 2 (y \cdot y) - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 \cdot 2 y^{2} - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.1.3

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.1.4

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 36 y + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.1.5

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 36 y + 36 y + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.1.6

将 $18$ 乘以 $4$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 36 y + 36 y + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.2

将 $- 36 y$ 和 $36 y$ 相加。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} + 0 + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.9.3

将 $- 18 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.1.10

从 $5 y^{2}$ 中减去 $18 y^{2}$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.2

化简分母。

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解题步骤 7.2.1

从 $y^{2} + 4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y \cdot y + 4 y)}^{18}}$

解题步骤 7.2.1.2

从 $4 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{18}}$

解题步骤 7.2.1.3

从 $y \cdot y + y \cdot 4$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y (y + 4))}^{18}}$

解题步骤 7.2.2

对 $y (y + 4)$ 运用乘积法则。

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{y^{18} {(y + 4)}^{18}}$

解题步骤 7.3

约去 $y^{8}$ 和 $y^{18}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)$ 中分解出因数 $y^{8}$ 。

$\frac{y^{8} ({(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{18} {(y + 4)}^{18}}$

解题步骤 7.3.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $y^{18} {(y + 4)}^{18}$ 中分解出因数 $y^{8}$ 。

$\frac{y^{8} ({(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{18})}$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

$\frac{y^{8} ({(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{18})}$

解题步骤 7.3.2.3

重写表达式。

$\frac{{(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{18}}$

解题步骤 7.4

约去 ${(y + 4)}^{8}$ 和 ${(y + 4)}^{18}$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

从 ${(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)$ 中分解出因数 ${(y + 4)}^{8}$ 。

$\frac{{(y + 4)}^{8} ({(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{18}}$

解题步骤 7.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.4.2.1

从 $y^{10} {(y + 4)}^{18}$ 中分解出因数 ${(y + 4)}^{8}$ 。

$\frac{{(y + 4)}^{8} ({(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{{(y + 4)}^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{10})}$

解题步骤 7.4.2.2

约去公因数。

$\frac{{(y + 4)}^{8} ({(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{{(y + 4)}^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{10})}$

解题步骤 7.4.2.3

重写表达式。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.5

从 $- 13 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2}) + 20 y + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.6

从 $20 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2}) - (- 20 y) + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.7

从 $- (13 y^{2}) - (- 20 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2} - 20 y) + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.8

将 $72$ 重写为 $- 1 (- 72)$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2} - 20 y) - 1 (- 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.9

从 $- (13 y^{2} - 20 y) - 1 (- 72)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2} - 20 y - 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.10

将 $- (13 y^{2} - 20 y - 72)$ 重写为 $- 1 (13 y^{2} - 20 y - 72)$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 1 (13 y^{2} - 20 y - 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

解题步骤 7.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{{(y - 2)}^{4} (13 y^{2} - 20 y - 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

微积分学 示例

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