微积分学示例

$f (x) = 3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \sin (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2}$ 。

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (\cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 \cos (x^{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \cos (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- 3 \sin (3 x))$

解题步骤 3.7

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$6 \cos (x^{2}) x + 6 \sin (3 x)$

解题步骤 4

重新排序项。

$6 x \cos (x^{2}) + 6 \sin (3 x)$

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