微积分学示例

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.10

组合 $4$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{3}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{4 x^{6}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{6}}$ 重写为 ${(x^{6})}^{- 1}$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{6}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{6}$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{6})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

解题步骤 3.5.2

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

解题步骤 3.6

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

解题步骤 3.7

通过指数相加将 $x^{- 12}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

解题步骤 3.7.3

从 $5$ 中减去 $12$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

解题步骤 3.8

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

解题步骤 3.9

组合 $6$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

解题步骤 3.10

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

解题步骤 3.11

组合 $\frac{18}{4}$ 和 $x^{- 7}$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

解题步骤 3.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 7}$ 移动到分母。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

解题步骤 3.13

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

解题步骤 3.13.2

约去公因数。

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解题步骤 3.13.2.1

从 $4 x^{7}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

解题步骤 3.13.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

解题步骤 3.13.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

解题步骤 4

重新排序项。

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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