微积分学示例

$f (x) = 4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$8 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 x + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.10

组合 $3$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$8 x + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 3.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.4.3

使用 $x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6.2.2

约去公因数。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.6.2.3

重写表达式。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.9

在公分母上合并分子。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 4.10

化简分子。

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解题步骤 4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 4.11

将负号移到分数的前面。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 4.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 4.13

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x^{- 1}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

解题步骤 4.14

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 4.14.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.4

在公分母上合并分子。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.5

化简分子。

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解题步骤 4.14.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.14.6

将负号移到分数的前面。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 4.16

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.17

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.18

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

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解题步骤 4.19.1

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.19.2

约去公因数。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.19.3

重写表达式。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.20

将负号移到分数的前面。

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$

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