微积分学示例

$f (x) = 55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$

解题步骤 1

因为 $55.36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$ 对 $x$ 的导数是 $55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$ 。

$55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{- 0.5 x}$ 且 $g (x) = - 26.9 x + 127.1$ 。

$55.36 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 26.9 x + 127.1] + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 26.9 x + 127.1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]$ 。

$55.36 (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3.2

因为 $- 26.9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 26.9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 26.9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3.4

将 $- 26.9$ 乘以 $1$ 。

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3.5

因为 $127.1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $127.1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + 0) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 26.9$ 和 $0$ 相加。

$55.36 (e^{- 0.5 x} \cdot - 26.9 + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 3.6.2

将 $- 26.9$ 移到 $e^{- 0.5 x}$ 的左侧。

$55.36 (- 26.9 \cdot e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 0.5 x$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 0.5 x$ 。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

解题步骤 4.3

使用 $- 0.5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

因为 $- 0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 0.5$ 乘以 $1$ 。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

解题步骤 5.3.2

将 $- 0.5$ 移到 $(- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}$ 的左侧。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot ((- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 0.5 (- 26.9 x) - 0.5 \cdot 127.1) e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.4

合并项。

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解题步骤 6.4.1

将 $- 26.9$ 乘以 $55.36$ 。

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.4.2

将 $- 26.9$ 乘以 $- 0.5$ 。

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (13.45 x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.4.3

将 $13.45$ 乘以 $55.36$ 。

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 (x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.4.4

将 $- 0.5$ 乘以 $127.1$ 。

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 63.55 e^{- 0.5 x})$

解题步骤 6.4.5

将 $- 63.55$ 乘以 $55.36$ 。

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} - 3518.128 e^{- 0.5 x}$

解题步骤 6.4.6

从 $- 1489.184 e^{- 0.5 x}$ 中减去 $3518.128 e^{- 0.5 x}$ 。

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

解题步骤 6.5

重新排序项。

$744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

解题步骤 6.6

将 $744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$ 中的因式重新排序。

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

微积分学 示例

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