微积分学示例

$f (x) = 5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 + 75 x - 2 x^{2} + 8 y - 0.5 x y + 4 z^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 1.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [75 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [75 x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $75 x$ 对 $x$ 的导数是 $75 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 75 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 75 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 2.3

将 $75$ 乘以 $1$ 。

$0 + 75 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 75 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 75 - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 75 - 4 x + \frac{d}{d x} [8 y] + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 4

因为 $8 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 y$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 75 - 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 0.5 x y] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- 0.5 x y]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- 0.5 y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.5 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.5 y \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 5.3

将 $- 0.5$ 乘以 $1$ 。

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + \frac{d}{d x} [4 z^{2}]$

解题步骤 6

因为 $4 z^{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 z^{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

合并项。

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解题步骤 7.1.1

将 $0$ 和 $75$ 相加。

$75 - 4 x + 0 - 0.5 y + 0$

解题步骤 7.1.2

将 $75 - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$75 - 4 x - 0.5 y + 0$

解题步骤 7.1.3

将 $75 - 4 x - 0.5 y$ 和 $0$ 相加。

$75 - 4 x - 0.5 y$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$- 4 x - 0.5 y + 75$

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