微积分学示例

$f (x) = 3 x e^{- 9 x^{2}}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x e^{- 9 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- 9 x^{2}}$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}] + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 9 x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 9 x^{2}$ 。

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $- 9 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{1} x (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (x^{1} x^{1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (x^{1 + 1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (x^{2} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

将 $- 18$ 移到 $e^{- 9 x^{2}}$ 的左侧。

$3 (x^{2} (- 18 \cdot e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \cdot 1)$

解题步骤 10

将 $e^{- 9 x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}})) + 3 e^{- 9 x^{2}}$

解题步骤 11.2

将 $- 18$ 乘以 $3$ 。

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

解题步骤 11.3

重新排序项。

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

解题步骤 11.4

将 $- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$ 中的因式重新排序。

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

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