微积分学示例

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ 。

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 6 - 9 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $6 - 9 x$ 。

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $6 - 9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $6 - 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 相加。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.4

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.5

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.7

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

解题步骤 4.9

将 $2$ 移到 ${(6 - 9 x)}^{4}$ 的左侧。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

解题步骤 5.2

将 $- 36$ 乘以 $3$ 。

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

解题步骤 5.4

从 $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ 中分解出因数 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ 中分解出因数 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

解题步骤 5.4.2

从 $6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ 中分解出因数 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

解题步骤 5.4.3

从 $6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ 中分解出因数 $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ 。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

解题步骤 5.5

从 $- 18 x$ 中减去 $9 x$ 。

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$

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