微积分学示例

$f (x) = 2 \ln (\sin (x))$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (\sin (x))$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \csc (x) \cos (x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

重新排序 $2 \csc (x) \cos (x)$ 的因式。

$2 \cos (x) \csc (x)$

解题步骤 5.2

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

解题步骤 5.3

乘以 $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 5.3.1

组合 $\frac{1}{\sin (x)}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 5.3.2

组合 $\frac{2}{\sin (x)}$ 和 $\cos (x)$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.4

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{2}{1} \cot (x)$

解题步骤 5.6

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \cot (x)$

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