微积分学示例

$f (x) = 3 e^{x} \ln (x)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{x} \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$3 (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 4

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$3 \frac{e^{x}}{x} + 3 (\ln (x) e^{x})$

解题步骤 6.2

组合 $3$ 和 $\frac{e^{x}}{x}$ 。

$\frac{3 e^{x}}{x} + 3 \ln (x) e^{x}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$3 e^{x} \ln (x) + \frac{3 e^{x}}{x}$

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