微积分学示例

$f (x) = - 2 \ln (4 x)$

解题步骤 1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 \ln (4 x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$- 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{4 x}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{1}{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{2 x}$ 。

$\frac{- 4}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.3

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2}{x} \cdot 1$

解题步骤 3.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{x}$

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