微积分学示例

$f (x) = 2 \ln (3 x)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (3 x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $\frac{1}{3 x}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

化简项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3 x}$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{x} \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{x}$

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