微积分学示例

$f (x) = 2 e^{x} + 5 x - \ln (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 e^{x} + 5 x - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 e^{x} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} + 5 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 e^{x} + 5 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 e^{x} + 5 - \frac{1}{x}$

解题步骤 5

重新排序项。

$- \frac{1}{x} + 2 e^{x} + 5$

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