微积分学示例

$f (x) = - 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$

解题步骤 1

根据加法法则， $- 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{- 5 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 5 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 5 x$ 。

$- 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.2.3

使用 $- 5 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.5

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (e^{- 5 x} \cdot - 5) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.6

将 $- 5$ 移到 $e^{- 5 x}$ 的左侧。

$- 2 (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 2.7

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$10 e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{0.2}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{0.2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}]$ 。

$10 e^{- 5 x} + 15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 0.2$ 。

$10 e^{- 5 x} + 15 (0.2 x^{- 0.8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 3.3

将 $0.2$ 乘以 $15$ 。

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$10 e^{- 5 x} + 3 \frac{1}{x^{0.8}} + 0$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{0.8}}$ 。

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}} + 0$

解题步骤 5.2.2

将 $10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$ 和 $0$ 相加。

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$

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