微积分学示例

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ 。

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 移到 $a$ 的左侧。

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 移到 $b$ 的左侧。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 移到 $c$ 的左侧。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [d x]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以 $d x$ 对 $x$ 的导数是 $d \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.5.3

将 $d$ 乘以 $1$ 。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

解题步骤 1.6

因为 $e$ 对于 $x$ 是常数，所以 $e$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

将 $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ 和 $0$ 相加。

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

解题步骤 1.7.2

重新排序项。

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.1.2

因为 $d$ 对于 $x$ 是常数，所以 $d$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4 a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3} a$ 对 $x$ 的导数是 $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3 b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} b$ 对 $x$ 的导数是 $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [2 c x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $2 c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 c x$ 对 $x$ 的导数是 $2 c \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $0$ 和 $12 a x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

解题步骤 2.5.2

重新排序项。

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ 对 $a$ 的导数是 $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ 。

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $x^{4}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $a x^{4}$ 对 $a$ 的导数是 $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ 。

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ 等于 $n a^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $b x^{3}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $b x^{3}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $c x^{2}$ 对于 $a$ 是常数，所以 $c x^{2}$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.3.3

因为 $d x$ 对于 $a$ 是常数，所以 $d x$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $e$ 对于 $a$ 是常数，所以 $e$ 对 $a$ 的导数为 $0$ 。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

解题步骤 4.1.4

合并项。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

解题步骤 4.1.4.3

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (a) = x^{4} + 0$

解题步骤 4.1.4.4

将 $x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f' (a) = x^{4}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{4}$ 。

$x^{4}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{4} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{4} = 0$

解题步骤 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

解题步骤 5.3

化简 $\pm \sqrt[4]{0}$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

解题步骤 5.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 乘以 $a$ 。

$2 c + 0 + 6 b (0)$

解题步骤 9.1.4

乘以 $6 b (0)$ 。

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解题步骤 9.1.4.1

将 $0$ 乘以 $6$ 。

$2 c + 0 + 0 b$

解题步骤 9.1.4.2

将 $0$ 乘以 $b$ 。

$2 c + 0 + 0$

解题步骤 9.2

合并 $2 c + 0 + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 9.2.1

将 $2 c$ 和 $0$ 相加。

$2 c + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $2 c$ 和 $0$ 相加。

$2 c$

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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