微积分学示例

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 7 x^{2} + 28$ 且 $g (x) = x^{4} - 16$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $7 x^{2} + 28$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $14$ 移到 $x^{4} - 16$ 的左侧。

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.2

将 $14$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.5.1.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.4

将 $7$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.5

将 $- 4$ 乘以 $28$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

从 $14 x^{5}$ 中减去 $28 x^{5}$ 。

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

重新排序项。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ 且 $g (x) = {(x^{4} - 16)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 14 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 112 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 224 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 14 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 14$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 14 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 14 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

将 $5$ 乘以 $- 14$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $- 112$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 112 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 112 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.8

将 $3$ 乘以 $- 112$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.9

因为 $- 224$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 224 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 224 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \frac{d}{d x} x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \cdot 1) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.2.11

将 $- 224$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{4} - 16$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} - 16$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{4} - 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

从 ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ 中分解出因数 $x^{4} - 16$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

从 ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ 中分解出因数 $x^{4} - 16$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2.2

从 $- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ 中分解出因数 $x^{4} - 16$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2.3

从 $(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]))$ 中分解出因数 $x^{4} - 16$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

解题步骤 2.5

约去公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 ${(x^{4} - 16)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{4} - 16$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.5.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.6

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.8

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.9

化简表达式。

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解题步骤 2.9.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.9.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) + (- 8 (- 14 x^{5}) - 8 (- 112 x^{3}) - 8 (- 224 x)) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3

化简分子。

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解题步骤 2.10.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{4} (- 70 x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.10.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4} x^{4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 (x^{4} x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4 + 4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.2.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 (x^{2} x^{4}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{2 + 4} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.4.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.5

将 $- 224$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 \cdot x^{4} - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.6

将 $- 70$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.7

将 $- 336$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.2.8

将 $- 16$ 乘以 $- 224$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.3

将 $- 224 x^{4}$ 和 $1120 x^{4}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.4

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 (x^{3} x^{5})) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{3 + 5}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.4.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{8}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.5

将 $- 14$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 (x^{3} x^{3})) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3 + 3}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.6.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{6}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.7

将 $- 112$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.8.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.3.1.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{3 + 1})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.8.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{4})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.1.9

将 $- 224$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.2

将 $- 70 x^{8}$ 和 $112 x^{8}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.3

将 $- 336 x^{6}$ 和 $896 x^{6}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.3.4

将 $896 x^{4}$ 和 $1792 x^{4}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4

从 $42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584$ 中分解出因数 $14$ 。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $42 x^{8}$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.2

从 $560 x^{6}$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.3

从 $2688 x^{4}$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.4

从 $5376 x^{2}$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.5

从 $3584$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.6

从 $14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6})$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.7

从 $14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4})$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.8

从 $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2})$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.4.9

从 $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)$ 中分解出因数 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5

化简分母。

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解题步骤 2.10.5.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.4

化简。

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解题步骤 2.10.5.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.5

对 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.6

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 4) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.10.5.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.6.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.7

化简每一项。

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解题步骤 2.10.5.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.5.7.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.5.7.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.7.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.7.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.7.2

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.7.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.8

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.10.5.8.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.8.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.9

通过因式分解出最大公因数 $x + 2$ 来因式分解多项式。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 2.10.5.10

对 $(x + 2) (x^{2} + 4)$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $7 x^{2} + 28$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $28$ 对于 $x$ 是常数，所以 $28$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $14$ 移到 $x^{4} - 16$ 的左侧。

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.7

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.9

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.10

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.10.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.10.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

运用分配律。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

运用分配律。

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.5.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.3.5.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.2

将 $14$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.3.5.1.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.4

将 $7$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.1.5

将 $- 4$ 乘以 $28$ 。

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5.2

从 $14 x^{5}$ 中减去 $28 x^{5}$ 。

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.6

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ 中分解出因数 $- 14 x$ 。

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解题步骤 5.3.1.1.1

从 $- 14 x^{5}$ 中分解出因数 $- 14 x$ 。

$- 14 x \cdot x^{4} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

解题步骤 5.3.1.1.2

从 $- 112 x^{3}$ 中分解出因数 $- 14 x$ 。

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 224 x = 0$

解题步骤 5.3.1.1.3

从 $- 224 x$ 中分解出因数 $- 14 x$ 。

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

解题步骤 5.3.1.1.4

从 $- 14 x (x^{4}) - 14 x (8 x^{2})$ 中分解出因数 $- 14 x$ 。

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

解题步骤 5.3.1.1.5

从 $- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x (16)$ 中分解出因数 $- 14 x$ 。

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2} + 16) = 0$

解题步骤 5.3.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 14 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16) = 0$

解题步骤 5.3.1.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 16) = 0$

解题步骤 5.3.1.4

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.1.4.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 4^{2}) = 0$

解题步骤 5.3.1.4.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

解题步骤 5.3.1.4.3

重写多项式。

$- 14 x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

解题步骤 5.3.1.4.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 4$ 。

$- 14 x {(u + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3.1.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3.4

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 5.3.4.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 5.3.4.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 5.3.4.2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 5.3.4.2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 5.3.4.2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 5.3.4.2.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 5.3.4.2.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 5.3.4.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.4.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 5.3.4.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 5.3.4.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 5.3.5

最终解为使 $- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2 i, - 2 i$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.4.2

因数。

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解题步骤 6.2.1.4.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.4.2.2

去掉多余的括号。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.5

对 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.1.6

对 $(x^{2} + 4) (x + 2)$ 运用乘积法则。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.3

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 6.2.3.2.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 6.2.3.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.2.3.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 6.2.3.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 6.2.3.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 6.2.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.4.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.2.4.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 6.2.5

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.5.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.2.5.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.2.6

最终解为使 ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{14 (3 {(0)}^{8} + 40 {(0)}^{6} + 192 {(0)}^{4} + 384 {(0)}^{2} + 256)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{14 (3 \cdot 0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

将 $40$ 乘以 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.6

将 $192$ 乘以 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.8

将 $384$ 乘以 $0$ 。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.10

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{14 (0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.11

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{14 (0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.1.12

将 $0$ 和 $256$ 相加。

$\frac{14 \cdot 256}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

从 $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4

对 $- 1 \cdot (0 - 2)$ 运用乘积法则。

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6

通过指数相加将 ${(0 - 2)}^{3}$ 乘以 ${(0 - 2)}^{3}$ 。

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解题步骤 9.2.6.1

移动 ${(0 - 2)}^{3}$ 。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.3

将 $14$ 乘以 $256$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.4

化简分母。

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解题步骤 9.4.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

解题步骤 9.4.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4

合并指数。

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解题步骤 9.4.4.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.2

对 $- 1 (2)$ 运用乘积法则。

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.3

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{3584}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.4

将 $2^{6}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

解题步骤 9.4.4.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

解题步骤 9.4.4.6

将 ${(2^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.4.4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

解题步骤 9.4.4.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

解题步骤 9.4.4.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

解题步骤 9.4.4.8

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{12}}$

解题步骤 9.4.5

对 $2$ 进行 $12$ 次方运算。

$\frac{3584}{- 1 \cdot 4096}$

解题步骤 9.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{3584}{- 4096}$

解题步骤 9.5.2

约去 $3584$ 和 $- 4096$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.2.1

从 $3584$ 中分解出因数 $512$ 。

$\frac{512 (7)}{- 4096}$

解题步骤 9.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.5.2.2.1

从 $- 4096$ 中分解出因数 $512$ 。

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

解题步骤 9.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

解题步骤 9.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{7}{- 8}$

解题步骤 9.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{7}{8}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2} + 28}{{(0)}^{4} - 16}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{7 \cdot 0 + 28}{0^{4} - 16}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \frac{0 + 28}{0^{4} - 16}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $0$ 和 $28$ 相加。

$f (0) = \frac{28}{0^{4} - 16}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{28}{0 - 16}$

解题步骤 11.2.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$f (0) = \frac{28}{- 16}$

解题步骤 11.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 11.2.3.1

约去 $28$ 和 $- 16$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.3.1.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (0) = \frac{4 (7)}{- 16}$

解题步骤 11.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.3.1.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 11.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 11.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f (0) = \frac{7}{- 4}$

解题步骤 11.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f (0) = - \frac{7}{4}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $- \frac{7}{4}$ 。

$y = - \frac{7}{4}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$ 的局部极值。

$(0, - \frac{7}{4})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例