微积分学示例

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $e^{3 x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.2.5

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 e^{3 x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.6

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.2.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

解题步骤 2.3.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $e^{3 x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $3 x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.2.5

将 $3$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 4.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 4.1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

解题步骤 4.1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 4.1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 e^{3 x} - e^{- x}$ 。

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2

通过在等式两边同时加上 $- e^{- x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

解题步骤 5.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

解题步骤 5.4

展开左边。

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解题步骤 5.4.1

将 $\ln (3 e^{3 x})$ 重写为 $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ 。

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

解题步骤 5.4.2

通过将 $3 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{3 x})$ 。

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

解题步骤 5.4.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

解题步骤 5.4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

解题步骤 5.5

展开右边。

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解题步骤 5.5.1

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

解题步骤 5.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

解题步骤 5.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (3) + 3 x = - x$

解题步骤 5.6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.6.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

解题步骤 5.6.2

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (3) + 4 x = 0$

解题步骤 5.7

从等式两边同时减去 $\ln (3)$ 。

$4 x = - \ln (3)$

解题步骤 5.8

将 $4 x = - \ln (3)$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.8.1

将 $4 x = - \ln (3)$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

解题步骤 5.8.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

解题步骤 5.8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

解题步骤 5.8.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{\ln (3)}{4}$ 重写为 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 。

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 。

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.3

乘以 $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ 。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 。

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ 。

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.6

将 ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.6.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.7

将 ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.7.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 3$ 。

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.7.3

将负号移到分数的前面。

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.9

组合 $9$ 和 $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ 。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

解题步骤 9.10

将 $\frac{\ln (3)}{4}$ 重写为 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

解题步骤 9.11

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 9.12

乘以 $- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 。

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解题步骤 9.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 9.12.2

将 $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 9.13

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

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解题步骤 11.1.1

将 $\frac{\ln (3)}{4}$ 重写为 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 。

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

解题步骤 11.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{4} \ln (3)$ 。

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2

使用表达式中的 $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3

化简结果。

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解题步骤 11.3.1

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1.1

乘以 $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ 。

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解题步骤 11.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.4

将 ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.5

将 ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.3.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.5.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 3$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

解题步骤 11.3.1.7

乘以 $- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ 。

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解题步骤 11.3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 11.3.1.7.2

将 $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ 乘以 $1$ 。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 11.3.1.8

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 11.3.2

最终答案为 $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ 。

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ 的局部极值。

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例