微积分学示例

$f (x) = e^{9 x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{9 x} (9 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$e^{9 x} \cdot 9$

解题步骤 1.2.3.2

将 $9$ 移到 $e^{9 x}$ 的左侧。

$9 e^{9 x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 e^{9 x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ 。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (e^{9 x})$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 9 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 x$ 。

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (9 x))$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 9 (e^{u} \frac{d}{d x} (9 x))$

解题步骤 2.2.3

使用 $9 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} (9 x))$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 9 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$f'' (x) = 81 e^{9 x} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 81 e^{9 x} \cdot 1$

解题步骤 2.3.4

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 81 e^{9 x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$9 e^{9 x} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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