微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{25 + x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 25 + x^{2}$ 。

$\frac{(25 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [25 + x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(25 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [25 + x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $25 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [25 + x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $25 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{25 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{25 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{25 + x^{2} - x (2 x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{25 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{25 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{25 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{25 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{25 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{25 - x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.8

重新排序项。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} + 25$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $- x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.2.7

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 25$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 25$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} + 25$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

根据加法法则， $x^{2} + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4.4

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 25$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} + 25)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.2

将 $25$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.3

将 $25$ 乘以 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.2

将 $25 x^{2}$ 和 $25 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.6.1

将 $50$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $625$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.4

将 $4$ 乘以 $25$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.5

将 $25$ 乘以 $- 100$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.2

从 $100 x^{3}$ 中减去 $100 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.3

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.3

从 $- 1250 x$ 中减去 $2500 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.2

从 $- 100 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.3

从 $- 3750 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.5

从 $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 50 u - 1875$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 1875$ ，和为 $- 50$ 。

$- 75, 25$

解题步骤 2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5

约去 $x^{2} + 25$ 和 ${(x^{2} + 25)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.1

从 $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ 中分解出因数 $x^{2} + 25$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.1

从 ${(x^{2} + 25)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 25$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 2.5.5.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$f' (x) = \frac{(25 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (25 + x^{2})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(25 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (25 + x^{2})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $25 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} (25 + x^{2})}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $25 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - x (2 x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{25 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{25 - x^{2}}{{(25 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.8

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ 。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$- x^{2} + 25 = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$- x^{2} = - 25$

解题步骤 5.3.2

将 $- x^{2} = - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- x^{2} = - 25$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $- 25$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 25$

解题步骤 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

解题步骤 5.3.4

化简 $\pm \sqrt{25}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 5$

解题步骤 5.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 5$

解题步骤 5.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 5$

解题步骤 5.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 5, - 5$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 5, - 5$

解题步骤 8

计算在 $x = 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

解题步骤 9.2.3

对 $50$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{10 (5^{2} - 75)}{125000}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{10 (25 - 75)}{125000}$

解题步骤 9.3.2

从 $25$ 中减去 $75$ 。

$\frac{10 \cdot - 50}{125000}$

解题步骤 9.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.4.1

将 $10$ 乘以 $- 50$ 。

$\frac{- 500}{125000}$

解题步骤 9.4.2

约去 $- 500$ 和 $125000$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $- 500$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (- 1)}{125000}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.2.1

从 $125000$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

解题步骤 9.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{500 \cdot - 1}{500 \cdot 250}$

解题步骤 9.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{250}$

解题步骤 9.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{250}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 5$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 5$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = \frac{5}{25 + {(5)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简分母。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = \frac{5}{25 + 25}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$f (5) = \frac{5}{50}$

解题步骤 11.2.2

约去 $5$ 和 $50$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (5) = \frac{5 (1)}{50}$

解题步骤 11.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

解题步骤 11.2.2.2.2

约去公因数。

$f (5) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

解题步骤 11.2.2.2.3

重写表达式。

$f (5) = \frac{1}{10}$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $\frac{1}{10}$ 。

$y = \frac{1}{10}$

解题步骤 12

计算在 $x = - 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

解题步骤 13.2.2

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

解题步骤 13.2.3

对 $50$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- 10 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 10 (25 - 75)}{125000}$

解题步骤 13.3.2

从 $25$ 中减去 $75$ 。

$\frac{- 10 \cdot - 50}{125000}$

解题步骤 13.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.4.1

将 $- 10$ 乘以 $- 50$ 。

$\frac{500}{125000}$

解题步骤 13.4.2

约去 $500$ 和 $125000$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.2.1

从 $500$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 (1)}{125000}$

解题步骤 13.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.2.2.1

从 $125000$ 中分解出因数 $500$ 。

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

解题步骤 13.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{500 \cdot 1}{500 \cdot 250}$

解题步骤 13.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{250}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 5$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 5$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 5$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简分母。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 5) = \frac{- 5}{25 + 25}$

解题步骤 15.2.1.2

将 $25$ 和 $25$ 相加。

$f (- 5) = \frac{- 5}{50}$

解题步骤 15.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 15.2.2.1

约去 $- 5$ 和 $50$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.1.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- 5) = \frac{5 (- 1)}{50}$

解题步骤 15.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.2.1.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

解题步骤 15.2.2.1.2.2

约去公因数。

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 10}$

解题步骤 15.2.2.1.2.3

重写表达式。

$f (- 5) = \frac{- 1}{10}$

解题步骤 15.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (- 5) = - \frac{1}{10}$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{10}$ 。

$y = - \frac{1}{10}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \frac{x}{25 + x^{2}}$ 的局部极值。

$(5, \frac{1}{10})$ 是一个局部最大值

$(- 5, - \frac{1}{10})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例