微积分学示例

$f (x) = - \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}] + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 15 x^{2} + 10 x - 40$ 且 $g (x) = {(x^{2} + x + 3)}^{2}$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 40] - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + x + 3)}^{2})}^{2}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 ${({(x^{2} + x + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 40] - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{2 \cdot 2}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 40] - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $15 x^{2} + 10 x - 40$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.3

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.6

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.8

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 40$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 + 0) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.3.10

将 $30 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + x + 3$ 。

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解题步骤 1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + x + 3$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.4.3

使用 $x^{2} + x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 (x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.5.2

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

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解题步骤 1.5.2.1

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10)$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.5.2.2

从 $- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) + (x^{2} + x + 3) (- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.5.2.3

从 $(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) + (x^{2} + x + 3) (- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.6

约去公因数。

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解题步骤 1.6.1

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))}{(x^{2} + x + 3) {(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.6.2

约去公因数。

解题步骤 1.6.3

重写表达式。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $x^{2} + x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.11

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.13

化简表达式。

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解题步骤 1.13.1

将 $\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + 0$

解题步骤 1.13.2

将 $- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14

化简。

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解题步骤 1.14.1

运用分配律。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2

化简分子。

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解题步骤 1.14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.14.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + x + 3) (30 x + 10)$ 。

$- \frac{x^{2} (30 x) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.14.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.14.2.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.14.2.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{30 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{30 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.3

将 $10$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{30 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x \cdot x + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.14.2.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.6

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 \cdot x + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.7

将 $30$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.2.8

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.3

将 $10 x^{2}$ 和 $30 x^{2}$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.4

将 $10 x$ 和 $90 x$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.14.2.1.5.1

将 $15$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.5.2

将 $10$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.5.3

将 $- 2$ 乘以 $- 40$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 x^{2} (2 x) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.14.2.1.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{2} x - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.14.2.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.14.2.1.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{1 + 2} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.3

将 $- 30$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.4

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.5

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.14.2.1.7.6.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.7

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.8

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.9

将 $2$ 乘以 $80$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.7.10

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.8

从 $- 30 x^{2}$ 中减去 $40 x^{2}$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.1.9

将 $- 20 x$ 和 $160 x$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.2

从 $30 x^{3}$ 中减去 $60 x^{3}$ 。

$- \frac{- 30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.3

从 $40 x^{2}$ 中减去 $70 x^{2}$ 。

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 100 x + 30 + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.4

将 $100 x$ 和 $140 x$ 相加。

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 30 + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.2.5

将 $30$ 和 $80$ 相加。

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3

从 $- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 1.14.3.1

从 $- 30 x^{3}$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3.2

从 $- 30 x^{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3.3

从 $240 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3.4

从 $110$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3.5

从 $10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3.6

从 $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.3.7

从 $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.4

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.5

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - (3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.6

从 $- (3 x^{3}) - (3 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.7

从 $24 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.8

从 $- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.9

将 $11$ 重写为 $- 1 (- 11)$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.10

从 $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.11

将 $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ 重写为 $- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ 。

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.12

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 1.14.14

将 $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}]$ 。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11$ 且 $g (x) = {(x^{2} + x + 3)}^{3}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{({(x^{2} + x + 3)}^{3})}^{2}})$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} + x + 3)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{3 \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.8

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.9

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.11

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.12

因为 $- 11$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 11$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 + 0) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.3.13

将 $9 x^{2} + 6 x - 24$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + x + 3$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + x + 3$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (3 {(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.5.2

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) + {(x^{2} + x + 3)}^{2} (- 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.5.2.3

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) + {(x^{2} + x + 3)}^{2} (- 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{2} {(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{2} {(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

解题步骤 2.11.2

组合 $10$ 和 $\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$ 。

$f'' (x) = \frac{10 ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12

化简。

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解题步骤 2.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{10 ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) + (- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{10 ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3

化简分子。

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解题步骤 2.12.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.3.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.12.3.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{2 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.2.4.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.12.3.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.5

将 $- 24$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 \cdot x^{2} + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.6

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.2.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 (x^{2} x) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.7.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.2.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.12.3.1.2.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{2 + 1} + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.8

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.2.9.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 (x \cdot x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.10

将 $- 24$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 \cdot x + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.11

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.12

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.2.13

将 $3$ 乘以 $- 24$ 。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.3

将 $6 x^{3}$ 和 $9 x^{3}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} - 24 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.4

将 $- 24 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.5

将 $- 18 x^{2}$ 和 $27 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.6

将 $- 24 x$ 和 $18 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4}) + 10 (15 x^{3}) + 10 (9 x^{2}) + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.12.3.1.8.1

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 10 (15 x^{3}) + 10 (9 x^{2}) + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.8.2

将 $15$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 10 (9 x^{2}) + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.8.3

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.8.4

将 $- 6$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.8.5

将 $10$ 乘以 $- 72$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.12.3.1.9.1

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.9.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.9.3

将 $- 24$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.9.4

将 $- 3$ 乘以 $- 11$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x + 33) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x + 33) (2 x + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 x^{3} (2 x) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11

化简每一项。

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解题步骤 2.12.3.1.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 x^{3} x) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.11.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 (x \cdot x^{3})) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.11.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.12.3.1.11.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 x^{1 + 3}) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 x^{4}) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.3

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 x^{2} x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.11.6.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.11.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.12.3.1.11.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 x^{3}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.7

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.8

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.9

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 \cdot (2 x \cdot x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.12.3.1.11.10.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 \cdot (2 (x \cdot x)) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.10.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 \cdot (2 x^{2}) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.11

将 $72$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.12

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.13

将 $2$ 乘以 $33$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 66 x + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.11.14

将 $33$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 66 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.12

从 $- 9 x^{3}$ 中减去 $18 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 27 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 66 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.13

将 $- 9 x^{2}$ 和 $144 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 27 x^{3} + 135 x^{2} + 72 x + 66 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.14

将 $72 x$ 和 $66 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 27 x^{3} + 135 x^{2} + 138 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.15

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4}) + 10 (- 27 x^{3}) + 10 (135 x^{2}) + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.16

化简。

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解题步骤 2.12.3.1.16.1

将 $- 18$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} + 10 (- 27 x^{3}) + 10 (135 x^{2}) + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.16.2

将 $- 27$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 10 (135 x^{2}) + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.16.3

将 $135$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.16.4

将 $138$ 乘以 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 1380 x + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.1.16.5

将 $10$ 乘以 $33$ 。

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.2

从 $90 x^{4}$ 中减去 $180 x^{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.3

从 $150 x^{3}$ 中减去 $270 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 1350 x^{2} + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.4

将 $90 x^{2}$ 和 $1350 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} - 60 x - 720 + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.5

将 $- 60 x$ 和 $1380 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 720 + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.3.6

将 $- 720$ 和 $330$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4

从 $- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 390$ 中分解出因数 $30$ 。

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解题步骤 2.12.4.1

从 $- 90 x^{4}$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.2

从 $- 120 x^{3}$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 1440 x^{2} + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.3

从 $1440 x^{2}$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.4

从 $1320 x$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 30 (44 x) - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.5

从 $- 390$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 30 (44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.6

从 $30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3})$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 30 (44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.7

从 $30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2})$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2}) + 30 (44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.8

从 $30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2}) + 30 (44 x)$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.4.9

从 $30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x) + 30 (- 13)$ 中分解出因数 $30$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.5

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4}) - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.6

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4}) - (4 x^{3}) + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.7

从 $- (3 x^{4}) - (4 x^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3}) + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.8

从 $48 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3}) - (- 48 x^{2}) + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.9

从 $- (3 x^{4} + 4 x^{3}) - (- 48 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2}) + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.10

从 $44 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2}) - (- 44 x) - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.11

从 $- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2}) - (- 44 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x) - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.12

将 $- 13$ 重写为 $- 1 (13)$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x) - 1 \cdot 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.13

从 $- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x) - 1 (13)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.14

将 $- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13)$ 重写为 $- 1 (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13)$ 。

$f'' (x) = \frac{30 (- 1 (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 2.12.15

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{30 (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}] + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.2

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

将 ${({(x^{2} + x + 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

解题步骤 4.1.3.2

根据加法法则， $15 x^{2} + 10 x - 40$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]$ 。

解题步骤 4.1.3.3

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

解题步骤 4.1.3.5

将 $2$ 乘以 $15$ 。

解题步骤 4.1.3.6

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

解题步骤 4.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

解题步骤 4.1.3.8

将 $10$ 乘以 $1$ 。

解题步骤 4.1.3.9

因为 $- 40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 40$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

解题步骤 4.1.3.10

将 $30 x + 10$ 和 $0$ 相加。

解题步骤 4.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + x + 3$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + x + 3$ 。

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

解题步骤 4.1.4.3

使用 $x^{2} + x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

解题步骤 4.1.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

解题步骤 4.1.5.2

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10)$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

解题步骤 4.1.5.2.2

从 $- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

解题步骤 4.1.5.2.3

从 $(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) + (x^{2} + x + 3) (- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

解题步骤 4.1.6

约去公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

从 ${(x^{2} + x + 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + x + 3$ 。

解题步骤 4.1.6.2

约去公因数。

解题步骤 4.1.6.3

重写表达式。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.7

根据加法法则， $x^{2} + x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

解题步骤 4.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.11

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 4.1.13

化简表达式。

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解题步骤 4.1.13.1

将 $\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + 0$

解题步骤 4.1.13.2

将 $- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14

化简。

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解题步骤 4.1.14.1

运用分配律。

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.14.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + x + 3) (30 x + 10)$ 。

$- \frac{x^{2} (30 x) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.14.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.14.2.1.2.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.14.2.1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{30 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{30 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.3

将 $10$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$- \frac{30 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x \cdot x + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.14.2.1.2.5.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.6

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 \cdot x + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.7

将 $30$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.2.8

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.3

将 $10 x^{2}$ 和 $30 x^{2}$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.4

将 $10 x$ 和 $90 x$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 4.1.14.2.1.5.1

将 $15$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.5.2

将 $10$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.5.3

将 $- 2$ 乘以 $- 40$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 x^{2} (2 x) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7

化简每一项。

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解题步骤 4.1.14.2.1.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{2} x - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.14.2.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.14.2.1.7.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{1 + 2} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.3

将 $- 30$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.4

将 $- 30$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.5

使用乘法的交换性质重写。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.14.2.1.7.6.1

移动 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.7

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.8

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.9

将 $2$ 乘以 $80$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.7.10

将 $80$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.8

从 $- 30 x^{2}$ 中减去 $40 x^{2}$ 。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.1.9

将 $- 20 x$ 和 $160 x$ 相加。

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.2

从 $30 x^{3}$ 中减去 $60 x^{3}$ 。

$- \frac{- 30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.3

从 $40 x^{2}$ 中减去 $70 x^{2}$ 。

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 100 x + 30 + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.4

将 $100 x$ 和 $140 x$ 相加。

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 30 + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.2.5

将 $30$ 和 $80$ 相加。

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3

从 $- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110$ 中分解出因数 $10$ 。

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解题步骤 4.1.14.3.1

从 $- 30 x^{3}$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3.2

从 $- 30 x^{2}$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3.3

从 $240 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3.4

从 $110$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3.5

从 $10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3.6

从 $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.3.7

从 $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)$ 中分解出因数 $10$ 。

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.4

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.5

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - (3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.6

从 $- (3 x^{3}) - (3 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.7

从 $24 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.8

从 $- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.9

将 $11$ 重写为 $- 1 (- 11)$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.10

从 $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.11

将 $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ 重写为 $- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ 。

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.12

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.1.14.14

将 $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ 。

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 3.16283747, - 0.44460978, 2.60744726$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 3.16283747, - 0.44460978, 2.60744726$

解题步骤 8

计算在 $x = - 3.16283747$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{30 (3 {(- 3.16283747)}^{4} + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$- \frac{30 (3 {(- 3.16283747)}^{4} + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

对 $- 3.16283747$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{30 (3 \cdot 100.07083047 + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $100.07083047$ 。

$- \frac{30 (300.21249141 + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.3

对 $- 3.16283747$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{30 (300.21249141 + 4 \cdot - 31.63957403 - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.4

将 $4$ 乘以 $- 31.63957403$ 。

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.5

对 $- 3.16283747$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 48 \cdot 10.00354089 - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.6

将 $- 48$ 乘以 $10.00354089$ 。

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 480.16996303 - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.7

将 $- 44$ 乘以 $- 3.16283747$ 。

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 480.16996303 + 139.16484892 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.8

从 $300.21249141$ 中减去 $126.55829614$ 。

$- \frac{30 (173.65419526 - 480.16996303 + 139.16484892 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.9

从 $173.65419526$ 中减去 $480.16996303$ 。

$- \frac{30 (- 306.51576777 + 139.16484892 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.10

将 $- 306.51576777$ 和 $139.16484892$ 相加。

$- \frac{30 (- 167.35091884 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.2.11

将 $- 167.35091884$ 和 $13$ 相加。

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.3

化简分母。

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解题步骤 9.3.1

对 $- 3.16283747$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{(10.00354089 - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.3.2

从 $10.00354089$ 中减去 $3.16283747$ 。

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{(6.84070342 + 3)}^{4}}$

解题步骤 9.3.3

将 $6.84070342$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{9.84070342}^{4}}$

解题步骤 9.3.4

对 $9.84070342$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{9377.87787987}$

解题步骤 9.4

化简表达式。

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解题步骤 9.4.1

将 $30$ 乘以 $- 154.35091884$ 。

$- \frac{- 4630.5275654}{9377.87787987}$

解题步骤 9.4.2

用 $- 4630.5275654$ 除以 $9377.87787987$ 。

$- - 0.49377136$

解题步骤 9.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 0.49377136$ 。

$0.49377136$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 3.16283747$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 3.16283747$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - 3.16283747$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 3.16283747$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3.16283747) = - \frac{15 {(- 3.16283747)}^{2} + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$f (- 3.16283747) = - \frac{15 {(- 3.16283747)}^{2} + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2

化简分子。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $- 3.16283747$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3.16283747) = - \frac{15 \cdot 10.00354089 + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $15$ 乘以 $10.00354089$ 。

$f (- 3.16283747) = - \frac{150.05311344 + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $10$ 乘以 $- 3.16283747$ 。

$f (- 3.16283747) = - \frac{150.05311344 - 31.62837475 - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2.4

从 $150.05311344$ 中减去 $31.62837475$ 。

$f (- 3.16283747) = - \frac{118.42473869 - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.2.5

从 $118.42473869$ 中减去 $40$ 。

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.3

化简分母。

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解题步骤 11.2.3.1

对 $- 3.16283747$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{(10.00354089 - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.3.2

从 $10.00354089$ 中减去 $3.16283747$ 。

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{(6.84070342 + 3)}^{2}}$

解题步骤 11.2.3.3

将 $6.84070342$ 和 $3$ 相加。

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{9.84070342}^{2}}$

解题步骤 11.2.3.4

对 $9.84070342$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{96.83944382}$

解题步骤 11.2.4

化简表达式。

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解题步骤 11.2.4.1

用 $78.42473869$ 除以 $96.83944382$ 。

$f (- 3.16283747) = - 1 \cdot 0.80984292$

解题步骤 11.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0.80984292$ 。

$f (- 3.16283747) = - 0.80984292$

解题步骤 11.2.5

最终答案为 $- 0.80984292$ 。

$y = - 0.80984292$

解题步骤 12

计算在 $x = - 0.44460978$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{30 (3 {(- 0.44460978)}^{4} + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

去掉圆括号。

$- \frac{30 (3 {(- 0.44460978)}^{4} + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2

化简分子。

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解题步骤 13.2.1

对 $- 0.44460978$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{30 (3 \cdot 0.03907653 + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.2

将 $3$ 乘以 $0.03907653$ 。

$- \frac{30 (0.11722961 + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.3

对 $- 0.44460978$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{30 (0.11722961 + 4 \cdot - 0.08788951 - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.4

将 $4$ 乘以 $- 0.08788951$ 。

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.5

对 $- 0.44460978$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 48 \cdot 0.19767786 - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.6

将 $- 48$ 乘以 $0.19767786$ 。

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 9.48853751 - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.7

将 $- 44$ 乘以 $- 0.44460978$ 。

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 9.48853751 + 19.56283073 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.8

从 $0.11722961$ 中减去 $0.35155805$ 。

$- \frac{30 (- 0.23432844 - 9.48853751 + 19.56283073 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.9

从 $- 0.23432844$ 中减去 $9.48853751$ 。

$- \frac{30 (- 9.72286595 + 19.56283073 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.10

将 $- 9.72286595$ 和 $19.56283073$ 相加。

$- \frac{30 (9.83996478 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.2.11

将 $9.83996478$ 和 $13$ 相加。

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.3

化简分母。

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解题步骤 13.3.1

对 $- 0.44460978$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{(0.19767786 - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.3.2

从 $0.19767786$ 中减去 $0.44460978$ 。

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{(- 0.24693192 + 3)}^{4}}$

解题步骤 13.3.3

将 $- 0.24693192$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{2.75306807}^{4}}$

解题步骤 13.3.4

对 $2.75306807$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{57.44705921}$

解题步骤 13.4

化简表达式。

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解题步骤 13.4.1

将 $30$ 乘以 $22.83996478$ 。

$- \frac{685.19894343}{57.44705921}$

解题步骤 13.4.2

用 $685.19894343$ 除以 $57.44705921$ 。

$- 1 \cdot 11.92748511$

解题步骤 13.4.3

将 $- 1$ 乘以 $11.92748511$ 。

$- 11.92748511$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 0.44460978$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 0.44460978$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 0.44460978$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 0.44460978$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.44460978) = - \frac{15 {(- 0.44460978)}^{2} + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

去掉圆括号。

$f (- 0.44460978) = - \frac{15 {(- 0.44460978)}^{2} + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2

化简分子。

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解题步骤 15.2.2.1

对 $- 0.44460978$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.44460978) = - \frac{15 \cdot 0.19767786 + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $15$ 乘以 $0.19767786$ 。

$f (- 0.44460978) = - \frac{2.96516797 + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $10$ 乘以 $- 0.44460978$ 。

$f (- 0.44460978) = - \frac{2.96516797 - 4.44609789 - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2.4

从 $2.96516797$ 中减去 $4.44609789$ 。

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 1.48092992 - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.2.5

从 $- 1.48092992$ 中减去 $40$ 。

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.3

化简分母。

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解题步骤 15.2.3.1

对 $- 0.44460978$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{(0.19767786 - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.3.2

从 $0.19767786$ 中减去 $0.44460978$ 。

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{(- 0.24693192 + 3)}^{2}}$

解题步骤 15.2.3.3

将 $- 0.24693192$ 和 $3$ 相加。

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{2.75306807}^{2}}$

解题步骤 15.2.3.4

对 $2.75306807$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{7.57938382}$

解题步骤 15.2.4

化简表达式。

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解题步骤 15.2.4.1

用 $- 41.48092992$ 除以 $7.57938382$ 。

$f (- 0.44460978) = 5.47286308$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $- 5.47286308$ 。

$f (- 0.44460978) = 5.47286308$

解题步骤 15.2.5

最终答案为 $5.47286308$ 。

$y = 5.47286308$

解题步骤 16

计算在 $x = 2.60744726$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{30 (3 {(2.60744726)}^{4} + 4 {(2.60744726)}^{3} - 48 {(2.60744726)}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

去掉圆括号。

$- \frac{30 (3 {(2.60744726)}^{4} + 4 {(2.60744726)}^{3} - 48 {(2.60744726)}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2

化简分子。

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解题步骤 17.2.1

对 $2.60744726$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{30 (3 \cdot 46.22342645 + 4 \cdot {2.60744726}^{3} - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.2

将 $3$ 乘以 $46.22342645$ 。

$- \frac{30 (138.67027937 + 4 \cdot {2.60744726}^{3} - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.3

对 $2.60744726$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{30 (138.67027937 + 4 \cdot 17.72746358 - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.4

将 $4$ 乘以 $17.72746358$ 。

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.5

对 $2.60744726$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 48 \cdot 6.79878124 - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.6

将 $- 48$ 乘以 $6.79878124$ 。

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 326.3414999 - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.7

将 $- 44$ 乘以 $2.60744726$ 。

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 326.3414999 - 114.72767972 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.8

将 $138.67027937$ 和 $70.90985432$ 相加。

$- \frac{30 (209.58013369 - 326.3414999 - 114.72767972 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.9

从 $209.58013369$ 中减去 $326.3414999$ 。

$- \frac{30 (- 116.7613662 - 114.72767972 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.10

从 $- 116.7613662$ 中减去 $114.72767972$ 。

$- \frac{30 (- 231.48904593 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.2.11

将 $- 231.48904593$ 和 $13$ 相加。

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.3

化简分母。

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解题步骤 17.3.1

对 $2.60744726$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{(6.79878124 + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.3.2

将 $6.79878124$ 和 $2.60744726$ 相加。

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{(9.40622851 + 3)}^{4}}$

解题步骤 17.3.3

将 $9.40622851$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{12.40622851}^{4}}$

解题步骤 17.3.4

对 $12.40622851$ 进行 $4$ 次方运算。

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{23689.67514359}$

解题步骤 17.4

化简表达式。

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解题步骤 17.4.1

将 $30$ 乘以 $- 218.48904593$ 。

$- \frac{- 6554.67137803}{23689.67514359}$

解题步骤 17.4.2

用 $- 6554.67137803$ 除以 $23689.67514359$ 。

$- - 0.27668895$

解题步骤 17.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 0.27668895$ 。

$0.27668895$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2.60744726$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2.60744726$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = 2.60744726$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $2.60744726$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.60744726) = - \frac{15 {(2.60744726)}^{2} + 10 (2.60744726) - 40}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

去掉圆括号。

$f (2.60744726) = - \frac{15 {(2.60744726)}^{2} + 10 (2.60744726) - 40}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.2

化简分子。

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解题步骤 19.2.2.1

对 $2.60744726$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2.60744726) = - \frac{15 \cdot 6.79878124 + 10 (2.60744726) - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.2.2

将 $15$ 乘以 $6.79878124$ 。

$f (2.60744726) = - \frac{101.98171871 + 10 (2.60744726) - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.2.3

将 $10$ 乘以 $2.60744726$ 。

$f (2.60744726) = - \frac{101.98171871 + 26.07447266 - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.2.4

将 $101.98171871$ 和 $26.07447266$ 相加。

$f (2.60744726) = - \frac{128.05619138 - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.2.5

从 $128.05619138$ 中减去 $40$ 。

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.3

化简分母。

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解题步骤 19.2.3.1

对 $2.60744726$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{(6.79878124 + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.3.2

将 $6.79878124$ 和 $2.60744726$ 相加。

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{(9.40622851 + 3)}^{2}}$

解题步骤 19.2.3.3

将 $9.40622851$ 和 $3$ 相加。

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{12.40622851}^{2}}$

解题步骤 19.2.3.4

对 $12.40622851$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{153.91450595}$

解题步骤 19.2.4

化简表达式。

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解题步骤 19.2.4.1

用 $88.05619138$ 除以 $153.91450595$ 。

$f (2.60744726) = - 1 \cdot 0.57211106$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0.57211106$ 。

$f (2.60744726) = - 0.57211106$

解题步骤 19.2.5

最终答案为 $- 0.57211106$ 。

$y = - 0.57211106$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = - \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ 的局部极值。

$(- 3.16283747, - 0.80984292)$ 是一个局部最小值

$(- 0.44460978, 5.47286308)$ 是一个局部最大值

$(2.60744726, - 0.57211106)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例