微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} + 6 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} + 6 x + 8 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 6 x + 8$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 6 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.2.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 x + 6 + \frac{d}{d x} (8)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 x + 6 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $2 x + 6$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 x + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x^{2} + 6 x + 8 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{2} + 6 x + 8 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} + 6 x + 8$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} + 6 x + 8$ 。

$x^{2} + 6 x + 8$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

解题步骤 5.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 6 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $6$ 。

$2, 4$

解题步骤 5.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) (x + 4) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(x + 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, - 4$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 2, - 4$

解题步骤 8

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 (- 2) + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 + 6$

解题步骤 9.2

将 $- 4$ 和 $6$ 相加。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

解题步骤 11.2.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 8$ 。

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

解题步骤 11.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

解题步骤 11.2.1.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 3 \cdot 4 + 8 (- 2)$

解题步骤 11.2.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 12 + 8 (- 2)$

解题步骤 11.2.1.6

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 12 - 16$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $12$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12}{1} - 16$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{12}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12}{1} \cdot \frac{3}{3} - 16$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{12}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} - 16$

解题步骤 11.2.2.4

将 $- 16$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1}$

解题步骤 11.2.2.5

将 $\frac{- 16}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $\frac{- 16}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 \cdot 3 - 16 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 16 \cdot 3}{3}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $- 16$ 乘以 $3$ 。

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 48}{3}$

解题步骤 11.2.5

化简表达式。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $- 8$ 和 $36$ 相加。

$f (- 2) = \frac{28 - 48}{3}$

解题步骤 11.2.5.2

从 $28$ 中减去 $48$ 。

$f (- 2) = \frac{- 20}{3}$

解题步骤 11.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 2) = - \frac{20}{3}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $- \frac{20}{3}$ 。

$y = - \frac{20}{3}$

解题步骤 12

计算在 $x = - 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 (- 4) + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- 8 + 6$

解题步骤 13.2

将 $- 8$ 和 $6$ 相加。

$- 2$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 4$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 4$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 4) = \frac{1}{3} \cdot - 64 + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

解题步骤 15.2.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 64$ 。

$f (- 4) = \frac{- 64}{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

解题步骤 15.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

解题步骤 15.2.1.4

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 3 \cdot 16 + 8 (- 4)$

解题步骤 15.2.1.5

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 48 + 8 (- 4)$

解题步骤 15.2.1.6

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 48 - 32$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $48$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48}{1} - 32$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} - 32$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{48}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} - 32$

解题步骤 15.2.2.4

将 $- 32$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{- 32}{1}$

解题步骤 15.2.2.5

将 $\frac{- 32}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $\frac{- 32}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 4) = \frac{- 64 + 48 \cdot 3 - 32 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

将 $48$ 乘以 $3$ 。

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 32 \cdot 3}{3}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 32$ 乘以 $3$ 。

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 96}{3}$

解题步骤 15.2.5

化简表达式。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 64$ 和 $144$ 相加。

$f (- 4) = \frac{80 - 96}{3}$

解题步骤 15.2.5.2

从 $80$ 中减去 $96$ 。

$f (- 4) = \frac{- 16}{3}$

解题步骤 15.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 4) = - \frac{16}{3}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{16}{3}$ 。

$y = - \frac{16}{3}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$ 的局部极值。

$(- 2, - \frac{20}{3})$ 是一个局部最小值

$(- 4, - \frac{16}{3})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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