微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{2} - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

解题步骤 2.1.2

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

解题步骤 2.2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$f'' (x) = \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $\frac{1}{2}$ 。

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5

将 $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

解题步骤 5.3.2

用 $\frac{1}{2}$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 6

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 9

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 9.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 9.2

合并分数。

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解题步骤 9.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 9.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 9.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 10

方程 $x = \frac{π}{3}$ 的解。

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

解题步骤 11

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 12

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{π}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 14

求 $x = \frac{π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.1.1

乘以 $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 14.2.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{π}{3}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 14.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 14.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 14.2.2

最终答案为 $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15

计算在 $x = \frac{5 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 16.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{5 π}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 18

求 $x = \frac{5 π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

化简每一项。

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解题步骤 18.2.1.1

乘以 $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ 。

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解题步骤 18.2.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5 π}{3}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 18.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 18.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 18.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 18.2.1.4

乘以 $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 18.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 18.2.1.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 18.2.2

最终答案为 $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是一个局部最小值

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是一个局部最大值

解题步骤 20

微积分学 示例

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