微积分学示例

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{10}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.2

将 $\frac{10 x^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{51}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.3

将 $51$ 乘以 $10$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.5

约去 $510$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.1

从 $510 x^{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.5.2.4

用 $85 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.7

因为 $85$ 对于 $x$ 是常数，所以 $85 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.2.9

将 $5$ 乘以 $85$ 。

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$425 x^{4} + 5 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $425 x^{4} + 5$ 和 $0$ 相加。

$425 x^{4} + 5$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $425 x^{4} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $425$ 对于 $x$ 是常数，所以 $425 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $425$ 。

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $1700 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$425 x^{4} + 5 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

组合 $\frac{10}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\frac{10 x^{3}}{3}$ 乘以 $\frac{51}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $51$ 乘以 $10$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.5

约去 $510$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.1

从 $510 x^{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.5.2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.5.2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.5.2.4

用 $85 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.6

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.6.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.7

因为 $85$ 对于 $x$ 是常数，所以 $85 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.2.9

将 $5$ 乘以 $85$ 。

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$425 x^{4} + 5 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $425 x^{4} + 5$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $425 x^{4} + 5$ 。

$425 x^{4} + 5$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $425 x^{4} + 5 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$425 x^{4} + 5 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$425 x^{4} = - 5$

解题步骤 5.3

将 $425 x^{4} = - 5$ 中的每一项除以 $425$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $425 x^{4} = - 5$ 中的每一项都除以 $425$ 。

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $425$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $- 5$ 和 $425$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $425$ 中分解出因数 $5$ 。

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

约去公因数。

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

重写表达式。

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

解题步骤 5.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

解题步骤 5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

解题步骤 5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

解题步骤 5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

解题步骤 8

计算在 $x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 ${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ 。

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

解题步骤 9.2

对 $- \frac{1}{85}$ 运用乘积法则。

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

解题步骤 9.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

解题步骤 9.4

对 $\frac{1}{85}$ 运用乘积法则。

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

解题步骤 9.5

一的任意次幂都为一。

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

解题步骤 9.6

对 $85$ 进行 $3$ 次方运算。

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $425 x^{4} + 5$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $425$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 5$

解题步骤 10.2.2.2

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f' (0) = 5$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 10.3

对于 $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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