微积分学示例

$f (x) = \frac{3 x^{7}}{e^{x}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.5

组合 $3$ 和 $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ 。

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.2

化简分子。

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解题步骤 1.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.2.1.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.3

重新排序项。

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.4

从 $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1

从 $21 e^{x} x^{6}$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.4.2

从 $- 3 e^{x} x^{7}$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.4.3

从 $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.5

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.5.1

从 $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 1.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 1.6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 1.6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

解题步骤 1.6.5.2.4

用 $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ 除以 $1$ 。

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

解题步骤 1.6.6

运用分配律。

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

解题步骤 1.6.7

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

解题步骤 1.6.8

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.8.1

移动 $x$ 。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

解题步骤 1.6.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 1.6.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

解题步骤 1.6.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

解题步骤 1.6.8.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

解题步骤 1.6.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

解题步骤 1.6.10

将 $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ 中的因式重新排序。

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $21 x^{6} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $21 \frac{d}{d x} [x^{6} e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.2.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{7} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{- x})$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{7}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 2.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 2.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.3.8

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.3.9

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $21$ 。

$f'' (x) = - 21 (x^{6} (e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.4.3.2

将 $6$ 乘以 $21$ 。

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 (e^{- x} (x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 (x^{7} (e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

解题步骤 2.4.3.4

将 $7$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x} - 21 (e^{- x} (x^{6}))$

解题步骤 2.4.3.5

从 $- 21 x^{6} e^{- x}$ 中减去 $21 e^{- x} x^{6}$ 。

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解题步骤 2.4.3.5.1

移动 $e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

解题步骤 2.4.3.5.2

从 $- 21 x^{6} e^{- x}$ 中减去 $21 x^{6} e^{- x}$ 。

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$f'' (x) = - 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$

解题步骤 2.4.5

将 $- 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$ 中的因式重新排序。

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 x^{5} e^{- x} + 3 x^{7} e^{- x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

解题步骤 4.1.2

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 7$ 。

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.5

组合 $3$ 和 $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ 。

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.2

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.2.2

将 $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.3

重新排序项。

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.4

从 $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.1

从 $21 e^{x} x^{6}$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.4.2

从 $- 3 e^{x} x^{7}$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.4.3

从 $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ 中分解出因数 $3 e^{x} x^{6}$ 。

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.5

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.5.1

从 $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.1.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

解题步骤 4.1.6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

解题步骤 4.1.6.5.2.4

用 $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ 除以 $1$ 。

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

解题步骤 4.1.6.6

运用分配律。

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

解题步骤 4.1.6.7

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

解题步骤 4.1.6.8

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.8.1

移动 $x$ 。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

解题步骤 4.1.6.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 4.1.6.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

解题步骤 4.1.6.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.6.8.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

解题步骤 4.1.6.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

解题步骤 4.1.6.10

将 $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = 21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ 。

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2

从 $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ 中分解出因数 $3 x^{6} e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $21 x^{6} e^{- x}$ 中分解出因数 $3 x^{6} e^{- x}$ 。

$3 x^{6} e^{- x} (7) - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 3 x^{7} e^{- x}$ 中分解出因数 $3 x^{6} e^{- x}$ 。

$3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x)$ 中分解出因数 $3 x^{6} e^{- x}$ 。

$3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{6} = 0$

$e^{- x} = 0$

$7 - x = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{6}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{6}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{6} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{6} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt[6]{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{6}$ 。

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.5.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.6

将 $7 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $7 - x$ 设为等于 $0$ 。

$7 - x = 0$

解题步骤 5.6.2

求解 $x$ 的 $7 - x = 0$ 。

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解题步骤 5.6.2.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$- x = - 7$

解题步骤 5.6.2.2

将 $- x = - 7$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.6.2.2.1

将 $- x = - 7$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 5.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 5.6.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 7}{- 1}$

解题步骤 5.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.2.2.3.1

用 $- 7$ 除以 $- 1$ 。

$x = 7$

解题步骤 5.7

最终解为使 $3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 7$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 7$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 42 {(0)}^{6} e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 42 \cdot 0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 42$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 126 \cdot 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.7

将 $126$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{0} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 \cdot 1 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.10

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 3 \cdot 0 e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.12

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

解题步骤 9.1.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 e^{0}$

解题步骤 9.1.14

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

解题步骤 9.1.15

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 21 {(- 2)}^{6} e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (- 2) = 21 \cdot (64 e^{- (- 2)}) - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $21$ 乘以 $64$ 。

$f' (- 2) = 1344 e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

解题步骤 10.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

解题步骤 10.2.2.1.4

对 $- 2$ 进行 $7$ 次方运算。

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 \cdot (- 128 e^{- (- 2)})$

解题步骤 10.2.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 128$ 。

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{- (- 2)}$

解题步骤 10.2.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{2}$

解题步骤 10.2.2.2

将 $1344 e^{2}$ 和 $384 e^{2}$ 相加。

$f' (- 2) = 1728 e^{2}$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $1728 e^{2}$ 。

$1728 e^{2}$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, 7)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 21 {(4)}^{6} e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $4$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (4) = 21 \cdot (4096 e^{- (4)}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $21$ 乘以 $4096$ 。

$f' (4) = 86016 e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 86016 e^{- 4} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (4) = 86016 (\frac{1}{e^{4}}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2.1.5

组合 $86016$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2.1.6

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 \cdot (16384 e^{- (4)})$

解题步骤 10.3.2.1.7

将 $- 3$ 乘以 $16384$ 。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- (4)}$

解题步骤 10.3.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- 4}$

解题步骤 10.3.2.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 \frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 10.3.2.1.10

组合 $- 49152$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} + \frac{- 49152}{e^{4}}$

解题步骤 10.3.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - \frac{49152}{e^{4}}$

解题步骤 10.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (4) = \frac{86016 - 49152}{e^{4}}$

解题步骤 10.3.2.2.2

从 $86016$ 中减去 $49152$ 。

$f' (4) = \frac{36864}{e^{4}}$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $\frac{36864}{e^{4}}$ 。

$\frac{36864}{e^{4}}$

解题步骤 10.4

将区间 $(7, \infty)$ 内的任一数字（例如 $10$ ）代入一阶导数 $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $x$ 。

$f' (10) = 21 {(10)}^{6} e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $10$ 进行 $6$ 次方运算。

$f' (10) = 21 \cdot (1000000 e^{- (10)}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $21$ 乘以 $1000000$ 。

$f' (10) = 21000000 e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f' (10) = 21000000 e^{- 10} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (10) = 21000000 (\frac{1}{e^{10}}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2.1.5

组合 $21000000$ 和 $\frac{1}{e^{10}}$ 。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2.1.6

对 $10$ 进行 $7$ 次方运算。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 \cdot (10000000 e^{- (10)})$

解题步骤 10.4.2.1.7

将 $- 3$ 乘以 $10000000$ 。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- (10)}$

解题步骤 10.4.2.1.8

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- 10}$

解题步骤 10.4.2.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 \frac{1}{e^{10}}$

解题步骤 10.4.2.1.10

组合 $- 30000000$ 和 $\frac{1}{e^{10}}$ 。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} + \frac{- 30000000}{e^{10}}$

解题步骤 10.4.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - \frac{30000000}{e^{10}}$

解题步骤 10.4.2.2

合并分数。

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解题步骤 10.4.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (10) = \frac{21000000 - 30000000}{e^{10}}$

解题步骤 10.4.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 10.4.2.2.2.1

从 $21000000$ 中减去 $30000000$ 。

$f' (10) = \frac{- 9000000}{e^{10}}$

解题步骤 10.4.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (10) = - \frac{9000000}{e^{10}}$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $- \frac{9000000}{e^{10}}$ 。

$- \frac{9000000}{e^{10}}$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 7$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 7$ 是极大值。

$x = 7$ 是一个极大值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例