微积分学示例

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.3

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 1.5.2

合并分数。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 1.5.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ 。

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.2

化简分子。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.2.2

将 $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.3

重新排序项。

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.4

从 $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1

从 $4 e^{x} x^{4}$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.4.2

从 $- 16 e^{x} x^{3}$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.4.3

从 $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.5

约去 $x^{3}$ 和 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.5.1

从 $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

解题步骤 1.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.5.2.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 1.6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 1.6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x} (x - 4)$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.5.4.2

将 $e^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.7.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

解题步骤 2.7.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.7.2.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

解题步骤 2.7.2.2

从 $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.7.2.2.1

从 $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

解题步骤 2.7.2.2.2

从 $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

解题步骤 2.7.2.2.3

从 $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

解题步骤 2.8

约去公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

解题步骤 2.8.3

重写表达式。

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

解题步骤 2.9

组合 $4$ 和 $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.4

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5

化简分子。

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解题步骤 2.10.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.5.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.1.3

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.1.4

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.1.6

将 $20$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.2

从 $4 x e^{x}$ 中减去 $16 x e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.3

从 $- 12 x e^{x}$ 中减去 $20 e^{x} x$ 。

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解题步骤 2.10.5.3.1

移动 $e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.5.3.2

从 $- 12 x e^{x}$ 中减去 $20 x e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.6

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.7

化简分子。

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解题步骤 2.10.7.1

从 $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ 中分解出因数 $4 e^{x}$ 。

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解题步骤 2.10.7.1.1

从 $- 32 e^{x} x$ 中分解出因数 $4 e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.7.1.2

从 $4 e^{x} x^{2}$ 中分解出因数 $4 e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.7.1.3

从 $80 e^{x}$ 中分解出因数 $4 e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.7.1.4

从 $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ 中分解出因数 $4 e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.7.1.5

从 $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ 中分解出因数 $4 e^{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.7.2

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ 。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

解题步骤 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

解题步骤 4.1.3

将 ${(x^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

解题步骤 4.1.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

解题步骤 4.1.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

解题步骤 4.1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

解题步骤 4.1.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

解题步骤 4.1.5.2.2

组合 $4$ 和 $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ 。

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.2.2

将 $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.4

从 $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.1

从 $4 e^{x} x^{4}$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.4.2

从 $- 16 e^{x} x^{3}$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.4.3

从 $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ 中分解出因数 $4 e^{x} x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.5

约去 $x^{3}$ 和 $x^{8}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.5.1

从 $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

解题步骤 4.1.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.6.5.2.1

从 $x^{8}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.5.2.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.5.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ 。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 5.3.2.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.3.2.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.3.3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $4 e^{x} (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{5} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 4$

解题步骤 8

计算在 $x = 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

约去 $4$ 和 ${(4)}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

从 $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

解题步骤 9.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

从 ${(4)}^{6}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

解题步骤 9.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

解题步骤 9.1.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

解题步骤 9.2.3

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

解题步骤 9.2.4

将 $- 16$ 和 $20$ 相加。

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

解题步骤 9.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

解题步骤 9.3.2

约去 $4$ 和 $1024$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $e^{4} \cdot 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $1024$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

解题步骤 9.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

解题步骤 9.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{4}}{256}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 4$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

约去 $4$ 和 ${(4)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

从 $4 e^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

解题步骤 11.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.2.1

从 ${(4)}^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.2

约去公因数。

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

解题步骤 11.2.1.2.3

重写表达式。

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

解题步骤 11.2.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $\frac{e^{4}}{64}$ 。

$y = \frac{e^{4}}{64}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ 的局部极值。

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例