微积分学示例

$f (x) = | x |$

解题步骤 1

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{x}{| x |}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = | x |$ 。

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $| x |$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.3

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.4

组合 $\frac{x}{| x |}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

化简分子。

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解题步骤 2.9.2.1

要将 $| x |$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| x |}{| x |}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3

化简分子。

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解题步骤 2.9.2.3.1

乘以 $| x | | x |$ 。

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解题步骤 2.9.2.3.1.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3.2

从绝对值中去掉非负项。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.3.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.2.4

用 $0$ 除以 $| x |$ 。

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

解题步骤 2.9.3

去掉 ${| x |}^{2}$ 的绝对值符号，因为偶次幂的求幂结果恒为正。

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

解题步骤 2.9.4

用 $0$ 除以 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 0$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x}{| x |} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{x}{| x |}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{| x |} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{| x |} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 5.3

排除不能使 $\frac{x}{| x |} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$0$

解题步骤 9

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 9.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 9.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{x}{| x |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 9.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

解题步骤 9.2.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

解题步骤 9.2.2.2

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$f' (- 2) = - 1$

解题步骤 9.2.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 9.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\frac{x}{| x |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 9.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

解题步骤 9.3.2

化简结果。

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解题步骤 9.3.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$f' (2) = \frac{2}{2}$

解题步骤 9.3.2.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (2) = 1$

解题步骤 9.3.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 9.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 10

微积分学 示例

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