微积分学示例

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $375$ 对于 $x$ 是常数，所以 $375$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $0.75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 。

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{4}$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

解题步骤 1.2.6.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{- \frac{1}{4}}$ 。

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 1.2.9

组合 $0.75$ 和 $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ 。

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

解题步骤 1.2.10

将 $3$ 乘以 $0.75$ 。

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{4}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $0$ 和 $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ 相加。

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.3.2

从 $2.25$ 中分解出因数 $2.25$ 。

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.3.3

从 $4 x^{\frac{1}{4}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 1.3.4

分离分数。

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.3.5

用 $2.25$ 除以 $4$ 。

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 1.3.6

组合 $0.5625$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $0.5625$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ 对 $x$ 的导数是 $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ 。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 1$ 。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{4}$ 。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $4$ 。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{5}{4}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

解题步骤 2.10

将 $- 1$ 乘以 $0.5625$ 。

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

解题步骤 2.11

组合 $- 0.5625$ 和 $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ 。

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{4}}$ 移动到分母。

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 2.12.2

将负号移到分数的前面。

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $375$ 对于 $x$ 是常数，所以 $375$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $0.75$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ 。

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{4}$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

解题步骤 4.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 4.1.2.5

在公分母上合并分子。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 4.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

解题步骤 4.1.2.6.2

从 $3$ 中减去 $4$ 。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

解题步骤 4.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x^{- \frac{1}{4}}$ 。

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 4.1.2.9

组合 $0.75$ 和 $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ 。

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

解题步骤 4.1.2.10

将 $3$ 乘以 $0.75$ 。

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 4.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{4}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $0$ 和 $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ 相加。

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 4.1.3.2

从 $2.25$ 中分解出因数 $2.25$ 。

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 4.1.3.3

从 $4 x^{\frac{1}{4}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

解题步骤 4.1.3.4

分离分数。

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 4.1.3.5

用 $2.25$ 除以 $4$ 。

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 4.1.3.6

组合 $0.5625$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ 。

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 4.2

$C (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ 。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$0.5625 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $0.5625 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[4]{x} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $4$ 次幂。

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{4}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt[4]{x}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x < 0$

解题步骤 6.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

解题步骤 9.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{0.5625}{0}$

解题步骤 9.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{0.5625}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 11

微积分学 示例

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