微积分学示例

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

解题步骤 1.2.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \sin (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t$ 。

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.3.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.3.1.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 t)$ 的左侧。

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ 。

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2 \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 \cos (2 t)$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \cos (t)$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

解题步骤 2.3.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

解题步骤 2.3.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

解题步骤 2.3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

解题步骤 2.3.7

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

解题步骤 4.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

解题步骤 4.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

解题步骤 5

对 $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

从 $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- 2 \sin (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

解题步骤 5.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

解题步骤 5.1.3

从 $- 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

解题步骤 5.1.4

从 $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

解题步骤 5.1.5

从 $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

解题步骤 5.2

因数。

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解题步骤 5.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.1.1

重新排序项。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

从 $- \sin (t)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.3

运用分配律。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.2.4

将 $\sin (t)$ 乘以 $1$ 。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

解题步骤 5.2.1.4

通过因式分解出最大公因数 $- 2 \sin (t) + 1$ 来因式分解多项式。

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

解题步骤 5.2.2

去掉多余的括号。

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

解题步骤 7

将 $- 2 \sin (t) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- 2 \sin (t) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $t$ 的 $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin (t) = - 1$

解题步骤 7.2.2

将 $- 2 \sin (t) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 2 \sin (t) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\sin (t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 7.2.4

化简右边。

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解题步骤 7.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$t = \frac{π}{6}$

解题步骤 7.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 7.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 7.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 7.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$t = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.2.7

方程 $t = \frac{π}{6}$ 的解。

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

解题步骤 8

将 $\sin (t) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 8.1

将 $\sin (t) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (t) + 1 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $t$ 的 $\sin (t) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (t) = - 1$

解题步骤 8.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (- 1)$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$t = - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 8.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 8.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$t = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.2.6

方程 $t = - \frac{π}{2}$ 的解。

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

最终解为使 $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10

计算在 $t = \frac{π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.2.2

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.2.3

重写表达式。

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1 \sqrt{3}$ 重写为 $- \sqrt{3}$ 。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 11.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

解题步骤 11.1.4.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 11.1.4.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 11.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.1.6.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.1.6.2

约去公因数。

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11.1.6.3

重写表达式。

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 11.2

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$- 3 \sqrt{3}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = \frac{π}{6}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = \frac{π}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 13

求 $t = \frac{π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $t$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

化简每一项。

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解题步骤 13.2.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.2.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.2.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

解题步骤 13.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

解题步骤 13.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 13.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 13.2.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.2

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.3

合并分数。

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解题步骤 13.2.3.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.4

化简分子。

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解题步骤 13.2.4.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.4.2

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 13.2.5

最终答案为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 14

计算在 $t = \frac{5 π}{6}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3.3

约去公因数。

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.3.4

重写表达式。

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.5

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 15.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

解题步骤 15.1.6.2

约去公因数。

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 15.1.6.3

重写表达式。

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 15.1.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 15.1.8

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 15.1.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.9.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.1.9.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.1.9.3

约去公因数。

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 15.1.9.4

重写表达式。

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

解题步骤 15.1.10

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2

将 $\sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$3 \sqrt{3}$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 17

求 $t = \frac{5 π}{6}$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{6}$ 替换变量 $t$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 17.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

解题步骤 17.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

解题步骤 17.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 17.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

解题步骤 17.2.1.6

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.2

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.3

合并分数。

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解题步骤 17.2.3.1

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.4

化简分子。

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解题步骤 17.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.4.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 17.2.6

最终答案为 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 。

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 18

计算在 $t = - \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 19

计算二阶导数。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 19.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 19.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 19.1.4

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

解题步骤 19.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.1.5.1

将 $- \frac{π}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

解题步骤 19.1.5.2

约去公因数。

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

解题步骤 19.1.5.3

重写表达式。

$0 - 4 \sin (- π)$

解题步骤 19.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$0 - 4 \sin (0)$

解题步骤 19.1.7

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - 4 \cdot 0$

解题步骤 19.1.8

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 19.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 20

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 20.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

解题步骤 20.2

将区间 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $t$ 。

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

解题步骤 20.2.2

化简结果。

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解题步骤 20.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.2.2.1.1

计算 $\sin (- 4)$ 。

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

解题步骤 20.2.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0.75680249$ 。

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

解题步骤 20.2.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

解题步骤 20.2.2.1.4

计算 $\cos (- 8)$ 。

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

解题步骤 20.2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 0.14550003$ 。

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

解题步骤 20.2.2.2

从 $- 1.51360499$ 中减去 $0.29100006$ 。

$f' (- 4) = - 1.80460505$

解题步骤 20.2.2.3

最终答案为 $- 1.80460505$ 。

$- 1.80460505$

解题步骤 20.3

将区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $t$ 。

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 20.3.2

化简结果。

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解题步骤 20.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.3.2.1.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 20.3.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

解题步骤 20.3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

解题步骤 20.3.2.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 20.3.2.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = 0 + 2$

解题步骤 20.3.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f' (0) = 2$

解题步骤 20.3.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 20.4

将区间 $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $t$ 。

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

解题步骤 20.4.2

化简结果。

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解题步骤 20.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.4.2.1.1

计算 $\sin (2)$ 。

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

解题步骤 20.4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0.90929742$ 。

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

解题步骤 20.4.2.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

解题步骤 20.4.2.1.4

计算 $\cos (4)$ 。

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

解题步骤 20.4.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 0.65364362$ 。

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

解题步骤 20.4.2.2

从 $- 1.81859485$ 中减去 $1.30728724$ 。

$f' (2) = - 3.12588209$

解题步骤 20.4.2.3

最终答案为 $- 3.12588209$ 。

$- 3.12588209$

解题步骤 20.5

将区间 $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $t$ 。

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

解题步骤 20.5.2

化简结果。

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解题步骤 20.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.5.2.1.1

计算 $\sin (4)$ 。

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

解题步骤 20.5.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 0.75680249$ 。

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

解题步骤 20.5.2.1.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

解题步骤 20.5.2.1.4

计算 $\cos (8)$ 。

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

解题步骤 20.5.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 0.14550003$ 。

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

解题步骤 20.5.2.2

从 $1.51360499$ 中减去 $0.29100006$ 。

$f' (4) = 1.22260492$

解题步骤 20.5.2.3

最终答案为 $1.22260492$ 。

$1.22260492$

解题步骤 20.6

将区间 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $7$ ）代入一阶导数 $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 20.6.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $t$ 。

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

解题步骤 20.6.2

化简结果。

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解题步骤 20.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 20.6.2.1.1

计算 $\sin (7)$ 。

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

解题步骤 20.6.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $0.65698659$ 。

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

解题步骤 20.6.2.1.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

解题步骤 20.6.2.1.4

计算 $\cos (14)$ 。

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

解题步骤 20.6.2.1.5

将 $2$ 乘以 $0.13673721$ 。

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

解题步骤 20.6.2.2

将 $- 1.31397319$ 和 $0.27347443$ 相加。

$f' (7) = - 1.04049876$

解题步骤 20.6.2.3

最终答案为 $- 1.04049876$ 。

$- 1.04049876$

解题步骤 20.7

由于一阶导数在 $t = - \frac{π}{2}$ 周围从负号变为正号，因此 $t = - \frac{π}{2}$ 是极小值。

$t = - \frac{π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 20.8

由于一阶导数在 $t = \frac{π}{6}$ 周围从正号变为负号，因此 $t = \frac{π}{6}$ 是极大值。

$t = \frac{π}{6}$ 是一个极大值

解题步骤 20.9

由于一阶导数在 $t = \frac{5 π}{6}$ 周围从负号变为正号，因此 $t = \frac{5 π}{6}$ 是极小值。

$t = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值

解题步骤 20.10

由于一阶导数在 $t = \frac{3 π}{2}$ 周围从正号变为负号，因此 $t = \frac{3 π}{2}$ 是极大值。

$t = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 20.11

这些是 $f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ 的局部极值。

$t = - \frac{π}{2}$ 是一个极小值

$t = \frac{π}{6}$ 是一个极大值

$t = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值

$t = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

$t = - \frac{π}{2}$ 是一个极小值

$t = \frac{π}{6}$ 是一个极大值

$t = \frac{5 π}{6}$ 是一个极小值

$t = \frac{3 π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例