微积分学示例

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

解题步骤 1

将 $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.4.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 2.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2

合并项。

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解题步骤 2.10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.10.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.10.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.5

要将 $x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.6

组合 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.8

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10.2.9

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.7

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.9

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 3.3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 3.3.9

化简分子。

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解题步骤 3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

解题步骤 3.3.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

解题步骤 3.3.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.12

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 3.3.13.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 3.3.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.13.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

解题步骤 3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 3.3.15

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 3.3.16

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 3.3.17

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.4.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 5.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 5.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 5.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 5.1.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 5.1.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 5.1.7

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 5.1.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 5.1.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10

化简。

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解题步骤 5.1.10.1

运用分配律。

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2

合并项。

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解题步骤 5.1.10.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{2}{3}}$ 移动到分子。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 5.1.10.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 5.1.10.2.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.3.4

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.4

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.5

要将 $x^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.6

组合 $x^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.8

将 $3$ 移到 $x^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.1.10.2.9

将 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

解题步骤 6.2.2

由于 $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $3, 3, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数。

解题步骤 6.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 6.2.4

因为除了 $1$ 和 $3$ 之外， $3$ 没有其他因数。

$3$ 是一个质数

解题步骤 6.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 6.2.6

$3, 3, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$3$

解题步骤 6.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 6.2.8

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $3$ 乘以变量部分。

$3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 中的每一项乘以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

重写表达式。

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.3

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.4

化简 $4 x^{1}$ 。

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.6.1

约去公因数。

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.6.2

重写表达式。

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.7

约去 $x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.7.1

约去公因数。

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.2.1.7.2

重写表达式。

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

乘以 $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$4 x + 4 = 0$

解题步骤 6.4

求解方程。

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解题步骤 6.4.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$4 x = - 4$

解题步骤 6.4.2

将 $4 x = - 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $4 x = - 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 6.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 4}{4}$

解题步骤 6.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$x = - 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 7.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 7.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.1.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 7.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 7.3.3.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 7.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 7.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 7.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - 1, 0$

解题步骤 9

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

化简分母。

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解题步骤 10.1.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\frac{4}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{2}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{9 \cdot 1} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.2

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.3

化简分母。

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解题步骤 10.1.3.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 10.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 10.1.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.1.3.3.1

约去公因数。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 10.1.3.3.2

重写表达式。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{5}}$

解题步骤 10.1.3.4

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 \cdot - 1}$

解题步骤 10.1.4

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{9} - \frac{8}{- 9}$

解题步骤 10.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{9} - - \frac{8}{9}$

解题步骤 10.1.6

乘以 $- - \frac{8}{9}$ 。

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解题步骤 10.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{9} + 1 (\frac{8}{9})$

解题步骤 10.1.6.2

将 $\frac{8}{9}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{9} + \frac{8}{9}$

解题步骤 10.2

化简项。

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解题步骤 10.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 8}{9}$

解题步骤 10.2.2

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$\frac{12}{9}$

解题步骤 10.2.3

约去 $12$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4)}{9}$

解题步骤 10.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.3.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

解题步骤 10.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

解题步骤 10.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{3}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简表达式。

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解题步骤 12.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

解题步骤 12.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

解题步骤 12.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.1

约去公因数。

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

解题步骤 12.2.2.2

重写表达式。

$f (- 1) = (- 1) ((- 1) + 4)$

解题步骤 12.2.3

计算指数。

$f (- 1) = - 1 ((- 1) + 4)$

解题步骤 12.2.4

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$f (- 1) = - 1 \cdot 3$

解题步骤 12.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- 1) = - 3$

解题步骤 12.2.6

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 13

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简表达式。

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解题步骤 14.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1

约去公因数。

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.2.2

重写表达式。

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.3

化简表达式。

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解题步骤 14.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 14.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 15

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 15.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 15.2

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.2.2

最终答案为 $\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3

将区间 $(- 1, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.5$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.3.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.5) = \frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.3.2

最终答案为 $\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 15.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2

化简结果。

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解题步骤 15.4.2.1

化简分子。

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解题步骤 15.4.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.4

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.5

在公分母上合并分子。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 15.4.2.1.6.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.1.6.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.4.2.2

最终答案为 $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 15.5

由于一阶导数在 $x = - 1$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 1$ 是极小值。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 15.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 15.7

这些是 $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ 的局部极值。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 16

微积分学 示例

微积分学示例