微积分学示例

$x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 1

将 $x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

将 ${(x - 6)}^{2}$ 重写为 $(x - 6) (x - 6)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 6) (x - 6))]$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 6) (x - 6)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 6) - 6 (x - 6))]$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))]$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

解题步骤 2.3.1.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)]$

解题步骤 2.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 12 x + 36)]$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 12 x + 36$ 。

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 12 x + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.6

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.7

将 $2 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 2.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{5}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

解题步骤 2.9.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

解题步骤 2.10

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

解题步骤 2.11

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

解题步骤 2.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{5}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13

化简。

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解题步骤 2.13.1

运用分配律。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.2

运用分配律。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3

合并项。

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解题步骤 2.13.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{4}{5}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.13.3.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

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解题步骤 2.13.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.1.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.1.5

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{9}{5}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.3

将 $- 12$ 移到 $x^{\frac{4}{5}}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.5

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.6

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{5}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 2.13.3.7.1

移动 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7.4

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7.5

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7.6

化简分子。

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解题步骤 2.13.3.7.6.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.7.6.2

将 $- 1$ 和 $10$ 相加。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.8

组合 $- 12$ 和 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 12 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.9

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.10

组合 $x$ 和 $\frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.11

将 $- 48$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.12

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{5}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.13

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 2.13.3.13.1

移动 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.13.2

将 $x^{- \frac{1}{5}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.13.3.13.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.13.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.13.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.13.5

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.14

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.15

组合 $36$ 和 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{36 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.16

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.17

要将 $2 x^{\frac{9}{5}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.18

组合 $2 x^{\frac{9}{5}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.19

在公分母上合并分子。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.20

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.21

将 $10 x^{\frac{9}{5}}$ 和 $4 x^{\frac{9}{5}}$ 相加。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.22

要将 $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.23

组合 $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.24

在公分母上合并分子。

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.25

将 $5$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 60 x^{\frac{4}{5}} - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.26

从 $- 60 x^{\frac{4}{5}}$ 中减去 $48 x^{\frac{4}{5}}$ 。

$\frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.3.27

将负号移到分数的前面。

$- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 2.13.4

重新排序项。

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{14}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{14}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{5}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{9}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{9 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.6.2

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot (\frac{9}{5} x^{\frac{4}{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.7

组合 $\frac{9}{5}$ 和 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

$f'' (x) = \frac{14}{5} \cdot \frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.8

将 $\frac{14}{5}$ 乘以 $\frac{9 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{14 (9 x^{\frac{4}{5}})}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.9

将 $9$ 乘以 $14$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{5 \cdot 5} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.2.10

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{d}{d x} (\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $\frac{144}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{144}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.3.3

使用 $x^{\frac{1}{5}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.5

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.5.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.9

化简分子。

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解题步骤 3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.11

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{4}{5}}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.12

组合 $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ 和 $x^{- \frac{2}{5}}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{4}{5}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 3.3.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.13.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.13.3

从 $- 4$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.13.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{6}{5}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{144}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.15

将 $\frac{144}{5}$ 乘以 $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.3.16

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5})$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- \frac{108}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{108}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

解题步骤 3.4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 3.4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 3.4.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 3.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

解题步骤 3.4.6.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

解题步骤 3.4.7

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

解题步骤 3.4.8

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{108}{5} \cdot \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

解题步骤 3.4.9

将 $\frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$ 乘以 $\frac{108}{5}$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}} \cdot 108}{5 \cdot 5}$

解题步骤 3.4.10

将 $108$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 x^{- \frac{1}{5}}}{5 \cdot 5}$

解题步骤 3.4.11

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 x^{- \frac{1}{5}}}{25}$

解题步骤 3.4.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{5}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{126 x^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

将 ${(x - 6)}^{2}$ 重写为 $(x - 6) (x - 6)$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} ((x - 6) (x - 6))]$

解题步骤 5.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 6) (x - 6)$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x (x - 6) - 6 (x - 6))]$

解题步骤 5.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6))]$

解题步骤 5.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

解题步骤 5.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

解题步骤 5.1.3.1.2

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6)]$

解题步骤 5.1.3.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 6 x - 6 x + 36)]$

解题步骤 5.1.3.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}} (x^{2} - 12 x + 36)]$

解题步骤 5.1.4

$x^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x + 36] + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5

求微分。

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解题步骤 5.1.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 12 x + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [36]) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.6

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.7

将 $2 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

解题步骤 5.1.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{5}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

解题步骤 5.1.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

解题步骤 5.1.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 5.1.8

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

解题步骤 5.1.9

化简分子。

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解题步骤 5.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

解题步骤 5.1.9.2

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

解题步骤 5.1.10

将负号移到分数的前面。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

解题步骤 5.1.11

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

解题步骤 5.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{5}}$ 移动到分母。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13

化简。

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解题步骤 5.1.13.1

运用分配律。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + (x^{2} - 12 x + 36) \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.2

运用分配律。

$x^{\frac{4}{5}} (2 x) + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3

合并项。

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解题步骤 5.1.13.3.1

通过指数相加将 $x^{\frac{4}{5}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.13.3.1.1

移动 $x$ 。

$x \cdot x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{4}{5}}$ 。

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解题步骤 5.1.13.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{1} x^{\frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{1 + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.1.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$x^{\frac{5}{5} + \frac{4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.1.4

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{5 + 4}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.1.5

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$x^{\frac{9}{5}} \cdot 2 + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{9}{5}}$ 的左侧。

$2 \cdot x^{\frac{9}{5}} + x^{\frac{4}{5}} \cdot - 12 + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.3

将 $- 12$ 移到 $x^{\frac{4}{5}}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 \cdot x^{\frac{4}{5}} + x^{2} \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.5

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 \cdot x^{2}}{5 x^{\frac{1}{5}}} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.6

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{5}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{2} x^{- \frac{1}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 5.1.13.3.7.1

移动 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{5}} x^{2})}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7.4

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7.5

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 5}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7.6

化简分子。

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解题步骤 5.1.13.3.7.6.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 10}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.7.6.2

将 $- 1$ 和 $10$ 相加。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - 12 x \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.8

组合 $- 12$ 和 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 12 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.9

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + x \frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.10

组合 $x$ 和 $\frac{- 48}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{x \cdot - 48}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.11

将 $- 48$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 \cdot x}{5 x^{\frac{1}{5}}} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.12

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{\frac{1}{5}}$ 移动到分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x \cdot x^{- \frac{1}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.13

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 5.1.13.3.13.1

移动 $x^{- \frac{1}{5}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x)}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.13.2

将 $x^{- \frac{1}{5}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.13.3.13.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 (x^{- \frac{1}{5}} x^{1})}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.13.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + 1}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.13.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{- \frac{1}{5} + \frac{5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.13.4

在公分母上合并分子。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{- 1 + 5}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.13.5

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{- 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.14

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + 36 \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.15

组合 $36$ 和 $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{36 \cdot 4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.16

将 $36$ 乘以 $4$ 。

$2 x^{\frac{9}{5}} - 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.17

要将 $2 x^{\frac{9}{5}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + 2 x^{\frac{9}{5}} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.18

组合 $2 x^{\frac{9}{5}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.19

在公分母上合并分子。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{2 x^{\frac{9}{5}} \cdot 5 + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.20

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{10 x^{\frac{9}{5}} + 4 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.21

将 $10 x^{\frac{9}{5}}$ 和 $4 x^{\frac{9}{5}}$ 相加。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.22

要将 $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.23

组合 $- 12 x^{\frac{4}{5}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.24

在公分母上合并分子。

$\frac{- 12 x^{\frac{4}{5}} \cdot 5 - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.25

将 $5$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 60 x^{\frac{4}{5}} - 48 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.26

从 $- 60 x^{\frac{4}{5}}$ 中减去 $48 x^{\frac{4}{5}}$ 。

$\frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.3.27

将负号移到分数的前面。

$- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 5.1.13.4

重新排序项。

$f' (x) = \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 。

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$

解题步骤 6.2.2

由于 $5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $5, 5, 5, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{\frac{1}{5}}$ 的最小公倍数。

解题步骤 6.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 6.2.4

因为除了 $1$ 和 $5$ 之外， $5$ 没有其他因数。

$5$ 是一个质数

解题步骤 6.2.5

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 6.2.6

$5, 5, 5, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$5$

解题步骤 6.2.7

$x^{\frac{1}{5}}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 6.2.8

$5, 5 x^{\frac{1}{5}}, 5, 1$ 的最小公倍数为数字部分 $5$ 乘以变量部分。

$5 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ 中的每一项乘以 $5 x^{\frac{1}{5}}$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} = 0$ 中的每一项乘以 $5 x^{\frac{1}{5}}$ 。

$\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.2.1

约去公因数。

$5 \frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.2.2

重写表达式。

$14 x^{\frac{9}{5}} x^{\frac{1}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.3

通过指数相加将 $x^{\frac{9}{5}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.3.1

移动 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$14 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{9}{5}}) + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 x^{\frac{1}{5} + \frac{9}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$14 x^{\frac{1 + 9}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.4

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$14 x^{\frac{10}{5}} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.3.5

用 $10$ 除以 $5$ 。

$14 x^{2} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{1}{5}}) - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$14 x^{2} + 5 \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.5

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.5.1

约去公因数。

$14 x^{2} + 5 \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.5.2

重写表达式。

$14 x^{2} + \frac{144}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.6

约去 $x^{\frac{1}{5}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.6.1

约去公因数。

$14 x^{2} + \frac{144}{x^{\frac{1}{5}}} x^{\frac{1}{5}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.6.2

重写表达式。

$14 x^{2} + 144 - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.7.1

将 $- \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.7.2

从 $5 x^{\frac{1}{5}}$ 中分解出因数 $5$ 。

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.7.3

约去公因数。

$14 x^{2} + 144 + \frac{- 108 x^{\frac{4}{5}}}{5} (5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.7.4

重写表达式。

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.8

通过指数相加将 $x^{\frac{4}{5}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.8.1

移动 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$14 x^{2} + 144 - 108 (x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.8.3

在公分母上合并分子。

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{1 + 4}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.8.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{\frac{5}{5}} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.8.5

用 $5$ 除以 $5$ 。

$14 x^{2} + 144 - 108 x^{1} = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.2.1.9

化简 $- 108 x^{1}$ 。

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0 (5 x^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

乘以 $0 (5 x^{\frac{1}{5}})$ 。

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解题步骤 6.3.3.1.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0 x^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 6.3.3.1.2

将 $0$ 乘以 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

$14 x^{2} + 144 - 108 x = 0$

解题步骤 6.4

求解方程。

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解题步骤 6.4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.4.1.1

从 $14 x^{2} + 144 - 108 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

从 $14 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (7 x^{2}) + 144 - 108 x = 0$

解题步骤 6.4.1.1.2

从 $144$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (7 x^{2}) + 2 (72) - 108 x = 0$

解题步骤 6.4.1.1.3

从 $- 108 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (7 x^{2}) + 2 (72) + 2 (- 54 x) = 0$

解题步骤 6.4.1.1.4

从 $2 (7 x^{2}) + 2 (72)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (7 x^{2} + 72) + 2 (- 54 x) = 0$

解题步骤 6.4.1.1.5

从 $2 (7 x^{2} + 72) + 2 (- 54 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (7 x^{2} + 72 - 54 x) = 0$

解题步骤 6.4.1.2

因数。

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解题步骤 6.4.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.4.1.2.1.1

重新排序项。

$2 (7 x^{2} - 54 x + 72) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.1.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 7 \cdot 72 = 504$ 并且它们的和为 $b = - 54$ 。

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解题步骤 6.4.1.2.1.2.1

从 $- 54 x$ 中分解出因数 $- 54$ 。

$2 (7 x^{2} - 54 x + 72) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.1.2.2

把 $- 54$ 重写为 $- 12$ 加 $- 42$

$2 (7 x^{2} + (- 12 - 42) x + 72) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.1.2.3

运用分配律。

$2 (7 x^{2} - 12 x - 42 x + 72) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.1.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.4.1.2.1.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 ((7 x^{2} - 12 x) - 42 x + 72) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.1.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (x (7 x - 12) - 6 (7 x - 12)) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.1.4

通过因式分解出最大公因数 $7 x - 12$ 来因式分解多项式。

$2 ((7 x - 12) (x - 6)) = 0$

解题步骤 6.4.1.2.2

去掉多余的括号。

$2 (7 x - 12) (x - 6) = 0$

解题步骤 6.4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$7 x - 12 = 0$

$x - 6 = 0$

解题步骤 6.4.3

将 $7 x - 12$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

将 $7 x - 12$ 设为等于 $0$ 。

$7 x - 12 = 0$

解题步骤 6.4.3.2

求解 $x$ 的 $7 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.3.2.1

在等式两边都加上 $12$ 。

$7 x = 12$

解题步骤 6.4.3.2.2

将 $7 x = 12$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 6.4.3.2.2.1

将 $7 x = 12$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

解题步骤 6.4.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.3.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

解题步骤 6.4.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{12}{7}$

解题步骤 6.4.4

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.4.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 6.4.4.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 6.4.5

最终解为使 $2 (7 x - 12) (x - 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{12}{7}, 6$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 7.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 7.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 7.1.3

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x^{1}}} - \frac{108 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

解题步骤 7.1.4

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{14 \sqrt[5]{x^{9}}}{5} + \frac{144}{5 \sqrt[5]{x}} - \frac{108 \sqrt[5]{x^{4}}}{5}$

解题步骤 7.2

将 $\frac{144}{5 \sqrt[5]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

解题步骤 7.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{5}}$ 。

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

化简 ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

对 $5 x^{\frac{1}{5}}$ 运用乘积法则。

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$3125 x^{1} = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.2.1.4

化简。

$3125 x = 0^{5}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3125 x = 0$

解题步骤 7.3.3

将 $3125 x = 0$ 中的每一项除以 $3125$ 并化简。

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解题步骤 7.3.3.1

将 $3125 x = 0$ 中的每一项都除以 $3125$ 。

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 7.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.3.2.1

约去 $3125$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

解题步骤 7.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{3125}$

解题步骤 7.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.3.3.1

用 $0$ 除以 $3125$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = \frac{12}{7}, 6, 0$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{12}{7}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{126 {(\frac{12}{7})}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

对 $\frac{12}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{126 \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.2

组合 $126$ 和 $\frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}$ 。

$\frac{\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}}}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.4

合并。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}} \cdot 1}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.5

将 $126$ 乘以 $1$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 25} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.6

将 $25$ 移到 $7^{\frac{4}{5}}$ 的左侧。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.7

对 $\frac{12}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{25 \frac{12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.8

组合 $25$ 和 $\frac{12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144}{\frac{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}{7^{\frac{6}{5}}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.9

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - (144 \frac{7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}) - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.10

组合 $144$ 和 $\frac{7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(\frac{12}{7})}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.1.11

对 $\frac{12}{7}$ 运用乘积法则。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \frac{12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}}$

解题步骤 10.1.12

组合 $25$ 和 $\frac{12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{\frac{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}}$

解题步骤 10.1.13

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - (432 \frac{7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}})$

解题步骤 10.1.14

组合 $432$ 和 $\frac{7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 10.2

要将 $- \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 10.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}$ 的形式。

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解题步骤 10.3.1

将 $\frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}}}$ 乘以 $\frac{12^{\frac{5}{5}}}{12^{\frac{5}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} - \frac{144 \cdot 7^{\frac{6}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 10.3.2

通过指数相加将 $12^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $12^{\frac{5}{5}}$ 。

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解题步骤 10.3.2.1

移动 $12^{\frac{5}{5}}$ 。

解题步骤 10.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 10.3.2.3

在公分母上合并分子。

解题步骤 10.3.2.4

将 $5$ 和 $1$ 相加。

解题步骤 10.4

在公分母上合并分子。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 10.5

化简每一项。

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解题步骤 10.5.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1.1

约去公因数。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 10.5.1.2

重写表达式。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12^{1}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 10.5.2

化简分子。

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解题步骤 10.5.2.1

计算指数。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 432 \cdot 7^{\frac{1}{5}} \cdot 12}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 10.5.2.2

将 $12$ 乘以 $- 432$ 。

$\frac{126 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{25 \cdot 7^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 144 \cdot 7^{\frac{6}{5}} - 5184 \cdot 7^{\frac{1}{5}}}{25 \cdot 12^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{12}{7}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = \frac{12}{7}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{12}{7}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{\frac{4}{5}} {((\frac{12}{7}) - 6)}^{2}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

对 $\frac{12}{7}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {((\frac{12}{7}) - 6)}^{2}$

解题步骤 12.2.2

要将 $- 6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12}{7} - 6 \cdot \frac{7}{7})}^{2}$

解题步骤 12.2.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12}{7} + \frac{- 6 \cdot 7}{7})}^{2}$

解题步骤 12.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12 - 6 \cdot 7}{7})}^{2}$

解题步骤 12.2.5

化简分子。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $- 6$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{12 - 42}{7})}^{2}$

解题步骤 12.2.5.2

从 $12$ 中减去 $42$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(\frac{- 30}{7})}^{2}$

解题步骤 12.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot {(- \frac{30}{7})}^{2}$

解题步骤 12.2.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 12.2.7.1

对 $- \frac{30}{7}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{30}{7})}^{2})$

解题步骤 12.2.7.2

对 $\frac{30}{7}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{30^{2}}{7^{2}}))$

解题步骤 12.2.8

化简表达式。

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解题步骤 12.2.8.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot (1 (\frac{30^{2}}{7^{2}}))$

解题步骤 12.2.8.2

将 $\frac{30^{2}}{7^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{30^{2}}{7^{2}}$

解题步骤 12.2.9

合并。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5}} \cdot 7^{2}}$

解题步骤 12.2.10

通过指数相加将 $7^{\frac{4}{5}}$ 乘以 $7^{2}$ 。

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解题步骤 12.2.10.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2}}$

解题步骤 12.2.10.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5}}}$

解题步骤 12.2.10.3

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5}}}$

解题步骤 12.2.10.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4 + 2 \cdot 5}{5}}}$

解题步骤 12.2.10.5

化简分子。

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解题步骤 12.2.10.5.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{4 + 10}{5}}}$

解题步骤 12.2.10.5.2

将 $4$ 和 $10$ 相加。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 30^{2}}{7^{\frac{14}{5}}}$

解题步骤 12.2.11

对 $30$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{\frac{4}{5}} \cdot 900}{7^{\frac{14}{5}}}$

解题步骤 12.2.12

将 $900$ 移到 $12^{\frac{4}{5}}$ 的左侧。

$f (\frac{12}{7}) = \frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

解题步骤 12.2.13

最终答案为 $\frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$ 。

$y = \frac{900 \cdot 12^{\frac{4}{5}}}{7^{\frac{14}{5}}}$

解题步骤 13

计算在 $x = 6$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{126 {(6)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(6)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(6)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

去掉圆括号。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 14.2

要将 $- \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 14.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}$ 的形式。

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解题步骤 14.3.1

将 $\frac{432}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}}}$ 乘以 $\frac{6^{\frac{5}{5}}}{6^{\frac{5}{5}}}$ 。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 14.3.2

通过指数相加将 $6^{\frac{1}{5}}$ 乘以 $6^{\frac{5}{5}}$ 。

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解题步骤 14.3.2.1

移动 $6^{\frac{5}{5}}$ 。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot (6^{\frac{5}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 14.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}$

解题步骤 14.3.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{5 + 1}{5}}}$

解题步骤 14.3.2.4

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}} - \frac{432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 14.4

在公分母上合并分子。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6^{\frac{5}{5}}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 14.5

化简分子。

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解题步骤 14.5.1

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6^{1}}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 14.5.2

对 $6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 432 \cdot 6}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 14.5.3

将 $- 432$ 乘以 $6$ 。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 144 - 2592}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 14.5.4

从 $- 144$ 中减去 $2592$ 。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} + \frac{- 2736}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 14.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{126 \cdot 6^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{2736}{25 \cdot 6^{\frac{6}{5}}}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 6$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 6$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = 6$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = {(6)}^{\frac{4}{5}} {((6) - 6)}^{2}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$f (6) = 6^{\frac{4}{5}} \cdot 0^{2}$

解题步骤 16.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (6) = 6^{\frac{4}{5}} \cdot 0$

解题步骤 16.2.3

将 $6^{\frac{4}{5}}$ 乘以 $0$ 。

$f (6) = 0$

解题步骤 16.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 17

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18

计算二阶导数。

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解题步骤 18.1

化简表达式。

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解题步骤 18.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.1

约去公因数。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.2.2

重写表达式。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.3

化简表达式。

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解题步骤 18.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{25 \cdot 0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.3.2

将 $25$ 乘以 $0$ 。

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{126 {(0)}^{\frac{4}{5}}}{25} - \frac{144}{0} - \frac{432}{25 {(0)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 18.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 19

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 19.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 6) \cup (6, \infty)$

解题步骤 19.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 19.2.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (- 2) = \frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.2.2.2

最终答案为 $\frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{14 {(- 2)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(- 2)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3

将区间 $(0, \frac{12}{7})$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 19.3.2

化简结果。

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解题步骤 19.3.2.1

在公分母上合并分子。

$f' (1) = \frac{14 {(1)}^{\frac{9}{5}} - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 19.3.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = \frac{14 \cdot 1 - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.2.2

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{14 - 108 {(1)}^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = \frac{14 - 108 \cdot 1}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.2.4

将 $- 108$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{14 - 108}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.3

从 $14$ 中减去 $108$ 。

$f' (1) = \frac{- 94}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.3.2.4.1

将负号移到分数的前面。

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5 {(1)}^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.3.2.4.2

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5 \cdot 1}$

解题步骤 19.3.2.4.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{94}{5} + \frac{144}{5}$

解题步骤 19.3.2.5

合并分数。

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解题步骤 19.3.2.5.1

在公分母上合并分子。

$f' (1) = \frac{- 94 + 144}{5}$

解题步骤 19.3.2.5.2

化简表达式。

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解题步骤 19.3.2.5.2.1

将 $- 94$ 和 $144$ 相加。

$f' (1) = \frac{50}{5}$

解题步骤 19.3.2.5.2.2

用 $50$ 除以 $5$ 。

$f' (1) = 10$

解题步骤 19.3.2.6

最终答案为 $10$ 。

$10$

解题步骤 19.4

将区间 $(\frac{12}{7}, 6)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{14 {(4)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(4)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(4)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 19.4.2

化简结果。

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解题步骤 19.4.2.1

去掉圆括号。

$f' (4) = \frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 19.4.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (4) = \frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.4.2.3

最终答案为 $\frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{14 \cdot 4^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 4^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 4^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.5

将区间 $(6, \infty)$ 内的任一数字（例如 $8$ ）代入一阶导数 $\frac{14 x^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 x^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 x^{\frac{4}{5}}}{5}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 19.5.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f' (8) = \frac{14 {(8)}^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 {(8)}^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 {(8)}^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 19.5.2

化简结果。

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解题步骤 19.5.2.1

去掉圆括号。

$f' (8) = \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}} - \frac{108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5}$

解题步骤 19.5.2.2

在公分母上合并分子。

$f' (8) = \frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.5.2.3

最终答案为 $\frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$ 。

$\frac{14 \cdot 8^{\frac{9}{5}} - 108 \cdot 8^{\frac{4}{5}}}{5} + \frac{144}{5 \cdot 8^{\frac{1}{5}}}$

解题步骤 19.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 19.7

由于一阶导数在 $x = \frac{12}{7}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{12}{7}$ 是极大值。

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极大值

解题步骤 19.8

由于一阶导数在 $x = 6$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 6$ 是极小值。

$x = 6$ 是一个极小值

解题步骤 19.9

这些是 $f (x) = x^{\frac{4}{5}} {(x - 6)}^{2}$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极小值

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极大值

$x = 6$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = \frac{12}{7}$ 是一个极大值

$x = 6$ 是一个极小值

解题步骤 20

微积分学 示例

微积分学示例