微积分学示例

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ 重写成 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 4 x + 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.2.3

使用 $x^{2} + 4 x + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x^{2} + 4 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 2.13

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

解题步骤 2.14

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

解题步骤 2.15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ 的因式。

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.2

将 $2 x + 4$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.4

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.5

从 $2 (x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.6

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.15.6.1

从 $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.15.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.15.6.3

重写表达式。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.4.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.4.4.2

将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + 4 x + 8$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.5.3

使用 $x^{2} + 4 x + 8$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.9

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.11

根据加法法则， $x^{2} + 4 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.13

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.15

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.16

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + 0))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.17

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.1

使 $u_{2} = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.1.1

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.1.2

对 $u_{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = u_{2}$ 和 $b = x + 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - (x + 2))}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.1.6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.1.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 1 \cdot 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.2

使用 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.2

合并 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.2.1

按照 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ 和 $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.2.2

将 $- x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + 0 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.2.3

将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.2.4

按照 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ 和 $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 重新排列因数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.2.5

将 $- 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 0 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.2.6

将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.3.1

通过指数相加将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.3.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.1.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.1.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 4 x + 8) + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.2

化简 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.3

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.3.4.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.5

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 \cdot x + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.3.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.4

合并 $x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.4.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 + 0 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.4.2

将 $4 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.5

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x + 8 - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.6

合并 $2 x + 8 - 2 x - 4$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.2.3.6.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.6.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.2.3.7

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.3

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.3.1

将 $\frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$

解题步骤 3.18.3.2

将 $\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

解题步骤 3.18.3.3

通过指数相加将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 4 x + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.3.3.1

将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 4 x + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.18.3.3.1.1

对 $x^{2} + 4 x + 8$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

解题步骤 3.18.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 3.18.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.18.3.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 3.18.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ 重写成 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 4 x + 8$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.2.3

使用 $x^{2} + 4 x + 8$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.6

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.7

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

解题步骤 5.1.8

根据加法法则， $x^{2} + 4 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 5.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 5.1.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 5.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 5.1.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

解题步骤 5.1.13

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

解题步骤 5.1.14

将 $2 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

解题步骤 5.1.15

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.15.1

重新排序 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ 的因式。

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.15.2

将 $2 x + 4$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.15.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.15.4

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.15.5

从 $2 (x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.15.6

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.15.6.1

从 $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 5.1.15.6.2

约去公因数。

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.15.6.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$x + 2 = 0$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - 2$

解题步骤 9

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4}{{({(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{{(4 + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.1.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4}{{(4 - 8 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.2

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$\frac{4}{{(- 4 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.3

将 $- 4$ 和 $8$ 相加。

$\frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10.1.5

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 10.1.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1.6.1

约去公因数。

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 10.1.6.2

重写表达式。

$\frac{4}{2^{3}}$

解题步骤 10.1.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{8}$

解题步骤 10.2

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{8}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 10.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 10.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8}$

解题步骤 12.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 2) = \sqrt{4 + 4 (- 2) + 8}$

解题步骤 12.2.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = \sqrt{4 - 8 + 8}$

解题步骤 12.2.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 8}$

解题步骤 12.2.4

将 $- 4$ 和 $8$ 相加。

$f (- 2) = \sqrt{4}$

解题步骤 12.2.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 12.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- 2) = 2$

解题步骤 12.2.7

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ 的局部极值。

$(- 2, 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例