微积分学示例

$V (t) = 45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$

解题步骤 1

根据加法法则， $45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$ 。

$\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $45$ 对于 $t$ 是常数，所以 $45 (1 - e^{- 1.6 t})$ 对 $t$ 的导数是 $45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}]$ 。

$45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}] + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $1 - e^{- 1.6 t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]$ 。

$45 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.3

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$45 (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- e^{- 1.6 t}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]$ 。

$45 (0 - \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - 1.6 t$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 1.6 t$ 。

$45 (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.5.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$45 (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.5.3

使用 $- 1.6 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.6

因为 $- 1.6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1.6 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 1.6 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.8

将 $- 1.6$ 乘以 $1$ 。

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \cdot - 1.6)) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.9

将 $- 1.6$ 移到 $e^{- 1.6 t}$ 的左侧。

$45 (0 - (- 1.6 \cdot e^{- 1.6 t})) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.10

将 $- 1.6$ 乘以 $- 1$ 。

$45 (0 + 1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.11

将 $0$ 和 $1.6 e^{- 1.6 t}$ 相加。

$45 (1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 2.12

将 $1.6$ 乘以 $45$ 。

$72 e^{- 1.6 t} + \frac{d}{d t} [31]$

解题步骤 3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1

因为 $31$ 对于 $t$ 是常数，所以 $31$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$72 e^{- 1.6 t} + 0$

解题步骤 3.2

将 $72 e^{- 1.6 t}$ 和 $0$ 相加。

$72 e^{- 1.6 t}$

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