微积分学示例

$s (t) = 2 \arccos (t - 1)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 \arccos (t - 1)$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \arccos (t)$ 且 $g (t) = t - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t - 1$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d t} [t - 1])$

解题步骤 2.2

$\arccos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

解题步骤 2.3

使用 $t - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

解题步骤 3.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$ 和 $- 2$ 。

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

解题步骤 3.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $t - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

解题步骤 3.5

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + 0)$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$

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