微积分学示例

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{4} - 15 x^{2}$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$15 u^{2} - 15 u = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $15 u^{2} - 15 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $15 u^{2}$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u) - 15 u = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从 $- 15 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.3

从 $15 u (u) + 15 u (- 1)$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (u - 1) = 0$

解题步骤 2.2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.5.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1, - 1$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 5 \cdot 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 1$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$3 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$3 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 - 5 {(1)}^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$3 - 5 \cdot 1 + 1$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$3 - 5 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.2.1

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$- 2 + 1$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1$

解题步骤 4.3

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 4.3.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$3 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2

化简。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

解题步骤 4.3.2.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 3 - 5 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 4.3.2.1.4

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 + 5 + 1$

解题步骤 4.3.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$2 + 1$

解题步骤 4.3.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

解题步骤 4.4

列出所有的点。

$(0, 1), (1, - 1), (- 1, 3)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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