微积分学示例

$\frac{1}{9} \cdot \ln ({(x + 2)}^{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{9} \ln ({(x + 2)}^{9})$ 。

$\ln ({({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

解题步骤 1.2

将 ${({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

解题步骤 1.2.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$\ln ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

解题步骤 1.3

化简。

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

解题步骤 1.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}})$

解题步骤 1.5

化简分母。

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解题步骤 1.5.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $3$ 。

$1, 2$

解题步骤 1.5.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{((x + 1) (x + 2))}^{2}})$

解题步骤 1.5.2

对 $(x + 1) (x + 2)$ 运用乘积法则。

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

解题步骤 1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ 。

$\ln (x + 2) + \ln ({(\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.7.1

对 $\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ 运用乘积法则。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.7.2

对 ${(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ 运用乘积法则。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.8

化简分母。

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解题步骤 1.8.1

将 ${({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.8.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.8.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.1.2.1

约去公因数。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.8.1.2.2

重写表达式。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.8.2

化简。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 1.8.3

将 ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.8.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

解题步骤 1.8.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.3.2.1

约去公因数。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

解题步骤 1.8.3.2.2

重写表达式。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{1}})$

解题步骤 1.8.4

化简。

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

解题步骤 3

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

从 $(x + 1) (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

解题步骤 3.2

约去公因数。

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

解题步骤 3.3

重写表达式。

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1})$

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