微积分学示例

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 重写为 ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 3.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3.5

乘。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.5.2

将 ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 移到 ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ 的左侧。

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

解题步骤 3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

合并项。

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解题步骤 3.5.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

解题步骤 3.5.1.2

组合 $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.5.2

重新排序项。

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将 $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ 中的每一项除以 $2 y$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ 中的每一项都除以 $2 y$ 。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

解题步骤 5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

解题步骤 5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

解题步骤 5.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

解题步骤 5.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.2.1

合并。

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.2.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

解题步骤 5.3.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

解题步骤 5.3.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

解题步骤 5.3.3.4

对 $(1 + x) (1 - x)$ 运用乘积法则。

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

解题步骤 5.3.4

将 $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ 中的因式重新排序。

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

微积分学 示例

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